История развития теории игр
Теория игр — молодая наука, история которой насчитывает чуть меньше ста лет. Несмотря на юный возраст, она успела предоставить массу полезной информации в распоряжение практикующих стратегов. Но ведь люди каким-то образом справлялись с собственной сложностью и успешно разрешали конфликты за многие века до ее появления! Да, и в этом случае древность и природа уже многое знали из того, к чему пришли теоретически лишь наши современники.
Брачный спор
Наши предки, мыслители античности, уделяли много времени поиску ответов на волнующие вопросы мироздания, особенно тщательно занимаясь проблемами политики, власти, государственного устройства и законности. Удивительно, но свою хронологию теория игр начинает с начала нашей эры. Об этом поведал нобелевский лауреат по экономике 2005 года, израильский математик Роберт Ауман в рамках лекции «Экономика Талмуда».
В Вавилонском Талмуде, одном из древнейших иудейских сводов правовых и религиозно-этических законов, есть раздел Нашим, посвященный законам заключения и расторжения брака. Там написано, что ни один брак не должен заключаться без брачного контракта, Ктубы, который описывает обязательства мужа по отношению к жене. Талмуд устанавливает минимальные обязательства, или размеры выплат вдовам и женам после развода. Там же древний текст приводит и правила деления имущества покойного мужа между тремя его женами, чьи брачные контракты устанавливали такие выплаты: первой жене 100 зуз (зуз — около 3,5 грамма серебра), второй и третьей по 200 и 300 зуз. Талмуд дает весьма противоречивые рекомендации. Если у покойного остается всего 100 зуз, делить их следует между всеми женами поровну. Остается у него 200 зуз, раздел таков: 50, 75 и 75. Остается у него 300 зуз, то распределяются они следующим образом: 50, 100, 150.
С первым дележом поровну все более-менее понятно, равно как и с третьим — он пропорционален брачным требованиям жен, всем досталось по половине от требуемой суммы. Но вот второй случай оставался совершенной загадкой и ставил в тупик многих мыслителей на протяжении двух тысячелетий. Наконец, в 1985 году математики Ауман и Машлер установили, что эта задача предвосхищала современную кооперативную теорию игр (области, которая изучает игры, где группы игроков могут объединять свои усилия). Решением стал нуклеолус, слишком серьезная математическая концепция, чье определение даже не поместилось бы на один печатный лист нашей книги. Очевидно, что знать о нуклеолусе мудрецы в начале нашей эры просто не могли!
Благо, Талмуд позаботился о людях без глубокой математической базы и дал доступный для понимания ответ на загадку с разделом имущества. Его нашли те самые математики Ауман и Машлер в другой мишне (законе из Талмуда), к которой мы сейчас и обратимся. Итак, мишна гласит: двое делят одежды, один требует себе все одежды, второй — их половину. Тогда первый должен получить s одежд, а второй j. Как получилось такое распределение? Если второй требует всего половину одежд, то другая половина без боя переходит к первому, потому что второй на нее даже не претендует. Он уже на этапе дележа согласен, что половина одежд принадлежит первому. Получается, спорной частью является всего S одежд, которую и нужно поровну поделить между двумя: у первого к имеющейся половине одежд 2/4 прибавляется еще j, а у второго остается j. Такое распределение экономисты назвали принципом равного раздела спорной суммы. Именно по этому принципу и делил Талмуд имущество между тремя женами.
Принцип равного раздела спорной суммы: поровну нужно делить только ту часть, по которой есть разногласия.
«Как только мы почувствовали гнев во время спора, мы уже спорим не за истину, а за себя» (Томас Карлейль)
Карточные игры, олигополия и эволюция
Первой областью применения теории игр в реальной жизни считаются карточные игры. Знаменитой стала переписка 1713 года между французским математиком Пьером де Монмором и английским дипломатом Джеймсом Уолдгрейвом. В письме дипломат анализирует простую на первый взгляд карточную игру для двух игроков «Джентльмен» (Le Her). Пьер де Монмор занимался анализом азартных игр и с удовольствием занялся вопросом, поставленным Уолдгрейвом. В итоге решение, к которому пришли дипломат и математик, стало первым известным равновесием Нэша в смешанных стратегиях. Сейчас мы немного погружаемся в специфические понятия теории игр, однако не будем останавливаться на каждом определении сразу, потому как идти в таком случае будем очень долго. Представим всю книгу, равно как и эту главу, в виде «обзорной экскурсии», где вы знакомитесь с основными достопримечательностями теории, а потом по желанию углубляетесь в самостоятельное изучение самых интересных для вас точек.
Итак, карточные игры XVIII века стали хорошим стартом для дальнейшего развития теории игр, в которое XIX век вносит фундаментальный вклад работами двух мыслителей: Чарльза Дарвина и Антуана Огюстена Курно. Французский математик, философ и экономист Курно в своей работе 1838 года «Исследование математических принципов теории богатства» предлагает модель стратегической конкуренции двух фирм, которая становится одной из базовых моделей как в классической экономической теории, так и в теоретико-игровом анализе.
Следующей важной вехой считается работа выдающегося английского натуралиста Чарльза Дарвина «Происхождение человека и половой отбор» 1871 года. Она представляется значимой не только для биологии, но и предвосхищает эволюционную теорию игр. Чтобы немного осмыслить вклад Дарвина, представим, что природа — это игрок, и у нее в распоряжении есть различные стратегии эволюции. Так, если вид растений или животных проходит естественный отбор и выживает — это значит, что природа применила удачную стратегию. Если вид исчезает, то стоит говорить о неудачной стратегии, которую она сыграла.
Интересно с этой точки зрения рассмотреть причины устоявшегося равновесия в соотношении полов при рождении. Предположим, что девочек рождается меньше, чем мальчиков. Это приведет к тому, что их брачные перспективы будут выше, чем у парней, — они смогут выбрать лучшего из нескольких. Следовательно, женские особи гарантированно смогут ожидать большего потомства, в то время как мужчины без пары рискуют и вовсе остаться без наследников. Таким образом, родители генетически будут расположены производить на свет больше девочек, так как захотят получить больше внуков. А значит, и гены с тенденцией рождения женских особей будут множиться, что приведет к тому, что рождение девочек в итоге будет происходить чаще, чем мальчиков. За этим следует, что и само преимущество рожать девочек постепенно угаснет. Те же рассуждения верны и в отношении мужских особей. Таким способом сама природа приходит к коэффициенту равновесия 1:1, для того чтобы повысить шансы вида на выживание.
Кстати, эволюционные идеи Дарвина интересно обобщает английский биолог и генетик Джон Мейнард Смит в 1970 году. Он использует теорию игр для предсказания и объяснения поведения животных.
Вот вы задумывались, почему животные обычно не дерутся до смерти? Смит делает попытку объяснить это на примере игры «Ястребы и Голуби». Суть игры такова, что двое животных в битве за ограниченный ресурс(например, за еду, самку или место в группе) могут воспользоваться всего двумя стратегиями. Первая — это сыграть роль Ястреба, агрессивного зверя, который бьется до конца и часто уходит с победой, но в случае поражения получает тяжелые увечья. Вторая стратегия — это роль Голубя, синоним сотрудничества, он использует скорее «психологические» приемы борьбы, пассивен и всегда уступает Ястребу. Он выходит из игры без увечий, но и нередко без выигрыша. Если сталкиваются два Ястреба, один из них уходит с победой, а другой — с тяжелыми увечьями. Если два Голубя — их шансы на победу 50/50, никто не понесет увечья. Если Ястреб и Голубь, то побеждает Ястреб, никто не несет увечья. Какая же роль лучше? Теория игр дает ответ в виде равновесия Нэша. В двух словах, опуская математические выкладки, оптимальной комбинацией будет то решение, в котором одно животное агрессивно, а второе — пассивно. Это будут сочетания стратегий «Голубь-Ястреб» и «Ястреб-Голубь». В этих случаях ни одному из животных не выгодно менять свою стратегию, потому что это позволит избежать тяжелых увечий и гарантирует выигрыш одному из особей. Равновесие Нэша в смешанных стратегиях предлагает более гибкое решение. Суть его в том, что «ястребиную» стратегию рационально играть тогда, когда спорный ресурс является более ценным, чем связанные с его получением возможные издержки. Но это мы забежали на сто лет вперед, чтобы немного охватить эволюционную теорию игр. Возвращаемся к хронологии.
Научное становление, популярность и Нобелевские премии
XX век продолжил развитие теории игр, и начал он с анализа шахматных игр. На них мы чуть подробнее остановимся в главе 4, а сейчас лишь отметим, что это пример игры с нулевой суммой, где победа одного игрока обязательно означает поражение соперника. Именно анализ игр с нулевой суммой стал толчком в формировании теории игр уже как научной дисциплины.
Точкой отсчета считается 1928 год, когда талантливейший венгеро-американский математик Джон фон Нейман доказывает теорему о минимаксе. Заслуги Неймана в науке позволяют назвать его одним из самых блестящих ученых XX века. Теорема о минимаксе гласит, что в любой конечной игре двух лиц с нулевой суммой существует равновесие в смешанных стратегиях. Всюду равновесия, интригует, не правда ли? Впоследствии Нейман вместе с американским экономистом Оскаром Моргенштерном публикуют монографию «Теория игр и экономическое поведение», которая становится основополагающей работой для современной теории игр.
1950 год — следующей яркой фигурой выступает Джон Нэш. Он становится настоящей звездой теории игр. Выдающийся американский математик приходит к знаменитому равновесию, названному в его честь. Он доказывает, что любая конечная игра имеет хотя бы одно равновесие в смешанных стратегиях. Биография Нэша, которую пишет Сильвия Назар, «A beautiful mind», номинируется в 1998 году на Пулитцеровскую премию. А тремя годами позже выходит на экраны фильм «Игры разума», где Нэша играет Рассел Кроу. Это тот случай, когда фильм настоятельно рекомендуется к просмотру.
В 1960-х Мерил Флад и Мелвин Дрешер проводят социально-психологические эксперименты, где хотят понять, насколько человек склонен к сотрудничеству, если у него есть стимулы вести себя эгоистично. Они формулируют суть проблемы дилеммы заключенного, известное название которой дает математик Альберт Такер.
За последующую половину века ученые приходят к другим, не менее серьезным и значимым открытиям в теории игр, что подтверждается серией Нобелевских премий по экономике в этой области. К девяностым годам совокупный вклад ученых и исследователей теории игр заслужил широкое признание научным сообществом.
1994 год приносит первую Нобелевскую премию в этой области «За фундаментальный анализ равновесия в теории некооперативных игр». Лауреатами становятся Джон Нэш, Джон Харсаньи и Рейнхарт Зельтен.
2005 год — «За расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью анализа в рамках теории игр» Нобелевскую премию получают израильский математик Роберт Ауман и американский экономист Томас Шеллинг. Эти ученые разработали концепции и теории манипулирования информацией, которые оказали мощное влияние не только на экономику, но и на другие социальные науки за последние 30 лет. Они вынесли, что знание о том, кто и какой информацией обладает, обязательно в анализе конфликтных ситуаций. Мы рассмотрим такие стратегические ходы в последующих главах.
Истинная игра представляет собой лишь манипулирование информацией.
2007 год — «За создание основ теории оптимальных механизмов» награждаются американские экономисты Леонид Гурвич, Эрик Маскин и Роджер Майерсон.
В двух словах о дизайне механизмов, которым занимались эти ученые. Обычно в теоретико-игровом анализе даются правила игры, на основании которых требуется понять и предсказать поведение игроков. В дизайне механизмов отвечают же на обратный вопрос: «Какие правила нужно разработать, чтобы игроки действовали определенным образом?» Интересный пример с бабушкой и пирогом. Итак, дано два внука, один пирог и бабушка, которая переживает, что если пирог она поделит самостоятельно, то кто-то из внуков будет недоволен своей долей. Хитрая бабушка перекладывает нож в руки одного из внуков со словами: «Ты, Петя, дели пирог, как считаешь правильным. А твой брат Коля первым выберет себе кусок». Вот так элегантно был создан стимул резать пирог максимально ровно. И к тому же чувство справедливости происходящего будет сопровождать обоих внуков — каждый из них будет уверен, что все сделано правильно.
Завершают нашу аллею нобелевских лауреатов Ллойд Шепли за свою теорию 50-летней давности, получившую широкую известность как задача о марьяже, и Элвин Рот, который предложил, как применять эту теорию на практике. В 2012 году двое ученых удостоились Нобелевской премии «За теорию стабильных размещений и ее имплементацию на практике в дизайне рынков». Речь идет о мэтчингах, или об алгоритме создания устойчивых пар.
Таким образом, мы обзорно познакомились с этапами развития теории игр и продолжаем нашу экскурсионную программу дальше. В начале книги мы говорили, как важно думать о том, что думают другие. Предлагаем остановиться на эмпатии как важном инструменте в конфликтных ситуациях. Впрочем, как и в любых социальных взаимодействиях.