Парадокс брадобрея
В деревне живет брадобрей, он бреет всех, кто не бреется сам, и только их. Кто же бреет самого брадобрея? Если он не бреется сам, то он бреет себя, а если бреется сам, то не бреет себя.
С виду парадокс кажется не таким уж сложным. Но при подробном рассмотрении этот на первый взгляд правдоподобный сценарий тонет в противоречиях. Безобидное с виду описание работы брадобрея (человек, «который бреет всех, кто не бреется сам») на самом деле логически невозможно, поскольку, согласно этому описанию, брадобрей не принадлежит ни к одной из групп — ни к бреющимся самостоятельно, ни к тем, кто бреется у брадобрея. Логически рассуждая, человека, не принадлежащего ни к одной из групп, существовать не может. Значит, его и не существует: парадокс разрешен.
«Смысл философии в том, чтобы начать с самого очевидного, а закончить самым парадоксальным» Бертран Рассел, 1918
Значение парадокса брадобрея не столько в содержании, сколько в форме. Структурно парадокс брадобрея близок к менее известному, но более важному парадоксу Рассела. В парадоксе Рассела речь идет не о чисто выбритых жителях деревни, а о математических множествах. Разрешить парадокс Рассела оказалось гораздо сложней, чем парадокс брадобрея, — сто лет назад он пошатнул самые основы математической науки.
Рассел и теория множеств
Концепция множеств — одна из фундаментальных основ математики, поскольку множества относятся к числу самых «чистых» объектов, рассматриваемых этой наукой. Математический метод заключается в том, что определяются группы (множества) элементов, удовлетворяющих определенным критериям, например множество всех действительных чисел больше единицы или множество всех простых чисел. Потом вычисляются другие свойства элементов исследуемых множеств. С точки зрения философии множества представляют особый интерес, поскольку возможность выразить все содержание математики (числа, отношения, функции) в терминах теории множеств позволяло «обосновать» математику чистой логикой.
В начале XX века немецкий математик Готлоб Фреге пытался определить арифметику в терминах логики с помощью теории множеств. Тогда считалось, что никаких ограничений или условий для определения множеств не существует. Проблема, на которую указал британский философ Бертран Рассел в 1901 году, заключалась во включении множеств в самих себя. В некоторых множествах само множество становилось своим же элементом: множество математических объектов само по себе математический объект. Но конечно, множество простых чисел — не простое число. Теперь давайте рассмотрим множество всех множеств, которые не включают самих себя в качестве элементов. Является ли такое множество своим элементом? Если да, то нет; если нет, то да. Другими словами, чтобы быть элементом этого множества, необходимо не быть элементом множества.
Прямое противоречие, в результате которого возникает парадокс, напоминающий парадокс брадобрея. Но, в отличие от случая с брадобреем, невозможно просто игнорировать досадную проблему, по крайней мере, не разрушив теорию множеств, как ее понимали до Рассела.
«Вряд ли что-нибудь может быть более нежелательным для ученого, чем обнаружить, что основания едва завершенной работы рухнули. Письмо, полученное мной от Бертрана Рассела, поставило меня именно в такое положение» Готлоб Фреге, 1903
Существование противоречий, на которые указал парадокс Рассела, в самой основе теории множеств значило, что математическое определение множеств не верно в своей основе. Если любое утверждение может (логически) быть доказано на основе противоречий, то любое доказательство в рамках теории множеств — не обязательно при этом ложное — не может быть признано обоснованным. Математику фактически пришлось перестраивать заново. Ключом к решению проблемы оказалось введение ограничений на формирование множеств. Рассел не только указал на существующую проблему, но был одним из первых, кто попытался ее решить, и, хотя его собственная попытка оказалась не вполне удачной, он открыл последующим исследователям верный путь.
«Это утверждение ложно»
Проблема самоопределения, лежащая в основе парадокса брадобрея и парадокса Рассела, прослеживается во многих знаменитых философских головоломках. Одна из самых известных — так называемый «парадокс лжеца», предположительно сформулированный еще в VII в. до н. э., когда греческий философ Эпименид, критянин по происхождению, заявил: «Все критяне — лжецы». Самый простой вариант парадокса, приписываемого Эпимениду: «То, что я утверждаю сейчас, — ложно». Утверждение является ложным, если истинно, и истинным, если ложно.
Этот парадокс легко продемонстрировать: на одной стороне листка бумаги надо написать «утверждение на другой стороне ложно», а на другой — «утверждение на другой стороне истинно». В такой формулировке каждое предложение само по себе безупречно, и весьма трудно отбросить парадокс как бессмыслицу, как предлагали некоторые.
Другой интересный вариант — парадокс Греллинга. Автологическими называются слова, описывающие сами себя; например, слово «пятисложное» является пятисложным, состоящим из пяти слогов. Гетерологические слова сами себя не описывают; например, слово «длинный» само по себе короткое. Каждое слово должно принадлежать к одной из этих групп. А слово «гетерологический» считается ли гетерологическим? Если да, то нет; если нет, то да. Похоже, нам никуда не деться от парадокса брадобрея.
Ясность мысли
Философские доказательства часто сложны и должны быть сформулированы с предельной точностью. Иногда философов немного «заносит», и попытки разобраться, о чем, собственно, идет речь, напоминают переход вброд реки из густой патоки. Если вам кажется, что правила крикета сложны для понимания, попробуйте разобраться в определении количества по Фреге: «Количество объектов в данном классе является классом всех классов, тождественных данному классу» — или совладать с рассуждениями Бертрана Рассела о «числе классов»:
«Мы объяснили доктрину типов переменных, опирающуюся на принцип, что любое выражение, которое указывает на все из некоторого типа, должно, если оно что-либо обозначает, обозначать нечто более высокого типа, чем все то, на что оно указывает. Там, где указывается на все из некоторого типа, есть мнимая переменная, принадлежащая к этому типу. Таким образом, любое выражение, содержащее мнимую переменную, относится к более высокому типу, чем эта переменная. Это фундаментальный принцип доктрины типов. Изменение в способе, которым конструируются типы (это с необходимостью следует доказать), не затронуло бы решение противоречий до тех пор, пока соблюдается этот фундаментальный принцип».
«Мы не можем сказать: "говоря обо всех пропозициях, я подразумеваю все пропозиции, кроме тех, в которых упоминаются "все пропозиции", — ибо в этом объяснении мы упомянули пропозиции, в которых упоминаются все пропозиции, чего нельзя сделать осмысленно"».