Броуновское движение
Броуновское движение — это беспорядочные перемещения малых частиц, возникающие вследствие их столкновения с невидимыми молекулами воды или газа. Первым его обнаружил ботаник Роберт Броун — частицы пыльцы, которые он разглядывал под микроскопом на мокром предметном стекле, двигались рывками, — однако описать математически смог только Альберт Эйнштейн. Броуновское движение объясняет, как распространяется в спокойном воздухе пыльца, но и описывает также множество случайных процессов — от наводнений до скачков на фондовом рынке. Его непредсказуемые рывки связаны с фракталами.
В XIX веке ботаник Роберт Броун, разглядывая под микроскопом частицы пыльцы, обнаружил, что они не стоят на месте, но отрывисто двигаются. На миг он задумался — уж не живые ли они? Нет, конечно, просто их сбивали с места молекулы воды, которой Броун смачивал предметные стекла. Частицы пыльцы двигались хаотично, иногда лишь немного, иногда на довольно большие расстояния, и, в конечном счете, совершали по стеклу путь, предсказать который было невозможно. И многие ученые начали задумываться над открытием Броуна, названным в его честь «броуновским движением».
Случайное блуждание
Броуновское движение совершается потому, что крошечные частицы пыльцы получают небольшой удар при каждом их столкновении с молекулой воды. Эти невидимые молекулы движутся и сами, постоянно налетая одна на другую, налетают они и на частицы пыльцы, срывая их с места. Даже при том, что частица пыльцы в сотни раз больше молекулы воды, в каждый момент времени ее ударяет много молекул, движущихся в случайных направлениях, и это создает дисбаланс сил, сдвигающих ее с места. Это происходит снова и снова, и потому пихаемая отовсюду частица совершает зигзагообразный путь, немного напоминающий путь с трудом держащегося на ногах пьяницы. Предсказать этот путь наперед невозможно, поскольку молекулы толкают ее случайным образом, и частица может срываться с места в любом направлении.
Броуновское движение совершается любыми малыми частицами, находящимися во взвешенном состоянии в жидкости или газе. Его можно наблюдать даже у довольно больших частиц, например частиц дыма, — при большом увеличении видно, какие зигзаги они описывают в воздухе. Сила получаемых частицами ударов зависит от импульса молекул. Она оказывается большей в случае тяжелых молекул жидкости либо газа — как и в случае быстро движущихся, например, молекул нагретой жидкости.
Во второй половине XIX века предпринималась не одна попытка описать броуновское движение математически, однако сделать это смог лишь Эйнштейн в 1905 году, когда он также опубликовал специальную теорию относительности и дал описание фотоэффекта, за что получил Нобелевскую премию. Эйнштейн воспользовался тепловой теорией, основанной на столкновениях молекул, и успешно объяснил движения частиц, которые наблюдал Броун. Поняв, что броуновское движение доказывает существование молекул жидкостей, физики вынуждены были принять и учение об атомах, которое даже в начале XX века еще вызывало сомнения.
Диффузия
Со временем броуновское движение способно заставить частицу пройти значительное расстояние, хоть, разумеется, и не такое, какое она могла бы пройти, если бы никто не мешал ей двигаться по прямой. Это объясняется случайным характером движения молекул, которые с равной вероятностью могут толкать ее и вперед, и назад. Поэтому, если уронить в жидкость плотную группу частиц, они начнут рассеиваться (диффундировать) во все стороны даже при том, что жидкость никто не будет помешивать и никакие потоки в ней не возникнут. Каждая частица пойдет по своему пути, и капля начнет расширяться, образуя диффузное облако. Такое рассеяние играет важную роль в распространении загрязнений воздуха, имеющих точечный источник, например в распространении аэрозоля в атмосфере. Даже при полном отсутствии ветра химические вещества будут рассеиваться в воздухе вследствие одного лишь броуновского движения.
Фракталы
Путь, по которому следует частица, совершающая броуновское движение, дает нам пример фрактала. Каждый прямой отрезок этого пути может иметь любую длину и любое направление, однако некоторый общий рисунок все же существует. Этот рисунок несет в себе определенную структуру, в каком масштабе его ни разглядывай — от наименьшего из вообразимых до очень больших. А это и есть определяющее свойство фрактала.
Фракталы были в 1960-х и 1970-х предложены Бенуа Мандельбротом как метод представления самоподобных фигур в количественной форме. Фракталы — это фигуры, которые при любом масштабе выглядят одинаково. Если увеличить малый кусочек этой фигуры, вы увидите точно такую же, неотличимую от первой, рассматриваемой в большем масштабе, поэтому определить степень увеличения, глядя на фигуру, ни за что не удастся. Такая безмасштабная повторяемость часто встречается в природе — в рисунке береговой линии, в ветвях дерева, в листьях папоротника, в шестикратной симметрии снежинки.
Фракталы отличаются тем, что их длина или размерность не зависят от того, с каким увеличением вы их рассматриваете. Если вы решите измерить расстояние между двумя приморскими городами, Лендс-Эндом и Маунтс-Беем, то, скорее всего, придете к выводу, что оно составляет 30 км, однако вспомните про все береговые скалы и попробуйте обвить каждую веревкой — и вы обнаружите, что веревка вам понадобится в сотню километров длиной. Если же вы пойдете еще дальше и затеете обмерять каждую песчинку берега, веревку придется удлинить до многих сотен километров. Выходит, что абсолютная длина береговой линии зависит от масштаба, в котором вы проводите измерения. Ограничьтесь грубым очертанием берега — и вы снова вернетесь к уже знакомым вам 30 км. В этом смысле фрактальная размерность есть мера огрубления чего-то, будь то облако, дерево или горный хребет. Многие из фрактальных форм, например береговую линию, можно получить соединением шагов случайного движения — отсюда и их связь с броуновским движением.
Математика броуновского движения, или последовательность случайных шагов, может использоваться для создания фрактальных фигур, находящих применение во многих областях науки. С ее помощью можно создавать грубо очерченные виртуальные пейзажи — горы, деревья, облака — компьютерных игр, ее можно использовать в программах пространственного картирования, которые помогают роботам двигаться по сильно пересеченной местности, моделируя ее возвышенности и низины. Врачи применяют ее для медицинской визуализации, когда у них возникает нужда проанализировать структуру сложных органов тела, скажем легких, в которых ветвящиеся структуры присутствуют во всех масштабах, от грубого до совсем малого.
Идеи броуновского движения используются и для предсказания рисков либо событий будущего, которые являются суммарным результатом множества случайных воздействий — наводнений, колебаний фондового рынка. Фондовый рынок можно рассматривать как портфель ценных бумаг, стоимость которых варьируется случайным образом, напоминая броуновское движение множества молекул. Фигурирует оно и в моделировании других социальных процессов, относящихся к производству товаров и принятию решений. Броуновское движение с его случайным характером обладает значительным влиянием и появляется во множестве обличий — не в одном только танце чаинок в чашке горячего чая.