Геометрия Лобачевского
Псевдосфера
Пятой аксиомой Евклида была аксиома о параллельных прямых, так называемый постулат о параллельных линиях, который гласит: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. То есть эта аксиома утверждает, что существует только одна прямая, проходящая через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.
Сложная формулировка пятого постулата Евклида о параллельных линиях породила множество гипотез и предположений о возможной зависимости его от других постулатов. Были предприняты многочисленные попытки вывести его из остальных аксиом геометрии, но, к сожалению, они оказались тщетны. Усилия доказать пятый постулат от противного также не увенчались успехом.
И все же, в начале XX века почти одновременно несколько выдающихся математиков того времени — Карл Гаусс из Германии, Я. Больяи из Венгрии и Николай Иванович Лобачевский из России пришли к мысли о существовании другой, неевклидовой геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.
Через точку Р проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямой» а
Поскольку Н. И. Лобачевский первым высказал эту идею в 1826 году, новая неевклидова геометрия была названа в его именем.
Геометрия Лобачевского имеет лишь одно отличие от евклидовой — аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского.
Модель Пуанкаре
Аксиома параллельности Лобачевского выглядит следующим образом:
Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.Непротиворечивость аксиомы доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.
Основы аналитической геометрии, заложенные Лобачевским, практически наметили необходимую для доказательства модель. Лобачевский заметил, что орисфера в пространстве изометрична евклидовой плоскости. Полностью реализовать модель смогли работы Клейна, Пуанкаре и других ученых.
Пучок параллельных прямых в геометрии Лобачевскоого
Геометрия Лобачевского нашла широчайшее применение в современной науке. Сам Николай Иванович Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определенных интегралов.
В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского способствовала успешному построению теории автоморфных функций. В этой теории связь с геометрией Лобачевского была основой для исследований Пуанкаре. По словам Анри Пуанкаре, «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».
Кроме того, геометрия Лобачевского стала использоваться в теории чисел, а именно, в ее геометрических методах, так называемой «геометрии чисел».
Ученые также установили тесную связь геометрии Лобачевского с кинематикой — специальной теорией относительности. В основе этой связи лежит равенство, выражающее закон распространения света:
x2 + y2 + z2 = c2t2,при делении на t2, то есть для скорости света, даёт уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz, которые являются составляющими скорости света по осям х, у, z.
vx2 + vy2 + vz2 = c2.Преобразование Лоренца сохраняет эту сферу, а поскольку они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Из этого следует, (согласно модели Клейна) что в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, значит есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.
В общей теории относительности геометрия Лобачевского также нашла свое место. Допуская возможным тот факт, что распределение масс материи во Вселенной равномерно (это приближение в космических масштабах допустимо), то при определенных условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Тем самым было доказано предположение Лобачевского о новой геометрии как возможной теории пространства.