Кролики и математика, или Ряд Фибоначчи и золотое сечение
Фибоначчи (1170—1250) — настоящее имя — Леонардо из Пизы — считается крупнейшим математиком средневековой Европы. Фибоначчи был родом из купеческой семьи, и отец, желая, чтобы сын изучил математику, отправил его учиться в Алжир. Потом юноша не раз сопровождал отца в деловых поездках, побывал в Византии, Сирии, Египте, где немало общался с местными учеными.
На молодого человека большое впечатление произвели позиционная система счисления и арабские, они же индийские, цифры. В то время в Европе мало кто знал об этой системе. Фибоначчи стал распространять ее. Особенно он хвалит позиционную систему и арабские цифры в своей работе «Книга абака», которая была написана в 1202 г. В этой книге он также приводит любопытный пример с постоянно размножающимися кроликами.
«Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?»
Число пар в каждый из двенадцати последующих месяцев будет соответственно 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Таким образом, кролики создают ряд, каждый член в котором — сумма двух предыдущих. Он известен как ряд Фибоначчи, а сами числа называют числами Фибоначчи. По этим числам можно изобразить спираль, выстраивая квадраты с соответствующими сторонами.
У этой последовательности есть несколько любопытных свойств. Например, если последующий член разделить на предыдущий, то получается число, примерно равное 1,618. Правда, для первых чисел эта закономерность почти не работает. Если 5 разделить на 3, получится 1,66. Но чем больше числа, тем точнее ответ. А коэффициент 1,618 — это знаменитое золотое сечение. Такая пропорция считается наиболее гармоничной в архитектуре и живописи. Таким образом, спираль Фибоначчи близка к золотому сечению, хотя полностью таковым не является.
Кроме того, последовательность Фибоначчи встречается в природе. Например, если вы рассмотрите семечки в подсолнухе, то убедитесь, что они расположены в два ряда спиралей: одна закручена по часовой стрелке, другая — против. Причем в одной такой спирали 55 семян, в другой — 34. А это — числа Фибоначчи.
Подобные пропорции встречаются в соотношении длин фаланг пальцев, в чертах лица, в молекуле ДНК и в расположении листьев и веток у растений.
Надо сказать, по справедливости, что эти пропорции были известны на Востоке задолго до Фибоначчи, но сложилось так, что они обрели его имя.
Что такое золотое сечение
Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Золотое сечение было известно с глубокой древности и считалось залогом гармонии и красоты.
Античные статуи имеют именно такие пропорции. Однако сам термин ввел Леонардо да Винчи. Он говорил: «Если человеческую фигуру — самое совершенное творение Вселенной — перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию оттого же пояса до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней».