Круглый ли футбольный мяч?

«Разумеется, футбольный мяч круглый!» — скажет каждый футбольный болельщик. Но если быть точным, это не совсем так. Футбольный мяч состоит из некоторого числа граней, а точнее, из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. К тому же пятиугольники эти равносторонние, т. е. их стороны имеют одинаковую длину, и две соседние стороны образуют одинаковые углы, равно как и у шестиугольников. При этом каждый пятиугольник окружен пятью шестиугольниками, а каждый шестиугольник — тремя пятиугольниками и тремя шестиугольниками.

Вершина — это точка, в которой сходятся более двух ребер. У футбольного мяча всегда ровно три ребра, не более. У других тел, состоящих из многоугольников, в одной точке могут сходиться и более трех ребер. Так сколько же вершин у футбольного мяча? Для этого представим, что каждая вершина относится к одному пятиугольнику и нет двух пятиугольников, имеющих общие вершины. Поэтому вершин должно быть 5 раз по 12 (столько на футбольном мяче пятиугольников): 5-12 = 60.

А сколько у футбольного мяча ребер? У каждого пятиугольника 5 сторон, у шестиугольника — 6. Теперь умножим количество пятиугольников на 5 и прибавим умноженное на 6 количество шестиугольников, т. е. 5 • 12 + 6 • 20. При этом каждое ребро мы сосчитали дважды, ведь каждое ребро точно ограничивает две плоскости. Так что число ребер составит половину от рассчитанного нами значения:

(5-12 + 6-20)/2 = 90.

А чтобы рассчитать количество граней, составляющих футбольный мяч, достаточно просто сложить количество пятиугольников и шестиугольников:

12 + 20=32.

Теперь из количества вершин вычтем количество ребер и прибавим количество граней:

60-90 + 32 = 2.

Результат — не случайное число, оно относится ко всем фигурам, стороны которых представляют собой многоугольники и которые не являются вогнутыми, т. е. не имеют углублений. Первым это доказал в XVIII в. швейцарский математик Леонард Эйлер. Примером теоремы Эйлера может служить кубик: у него 8 вершин, 12 ребер и 6 граней:

8-12 + 6 = 2.

Или пирамида: у нее (считая основание) 5 вершин, 8 ребер и 5 граней:

5-8 +5 = 2.