Квадратура круга
Несомненно, циркуль и линейка — весьма полезные и эффективные инструменты, с помощью которых можно «построить», пожалуй, все, что угодно. Однако есть задачи, которые им не под силу. Одна из них — задача о квадратуре круга, которая вместе с трисекцией угла и удвоением куба, считается не только самой сложной, но и наиболее древней задачей, не имеющей решения.
Круг и квадрат одинаковой площади.
Жившие около двух тысяч лет назад египетские и вавилонские математики пытались с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга, и, судя по древнему папирусу, им это удалось (сторона квадрата должна быть равна 8/9 диаметра круга). В Древней Греции не только геометры, но и философы уделяли много времени задаче, получившей название квадратуры круга, и даже, по свидетельству Плутарха — древнегреческого историка, одному из них — Антифонту — удалось найти решение. Перед тем, как заниматься кругом, философ решил построить квадрат, равновеликий по площади многоугольнику: Антифонт последовательно удваивал стороны многоугольника до тех пор, пока не получилось такое число сторон, что они совпали с дугами окружности. Добившись успеха с многоугольником, философ научно обосновал возможность построить квадрат и для круга, однако никаких доступных свидетельств этого не сохранилось.
Следующим человеком, совершившим существенный переворот в решении задачи о квадратуре круга, был Гиппократ Хиосский, обнаруживший пропорциональность площади круга квадрату его диаметра. Несмотря на то, что это предположение так и осталось гипотезой, именно благодаря ему Гиппократ открыл квадратируемые фигуры (их площади выражались в рациональных числах), которые ограничены пересекающимися окружностями. Ученому удалось получить общий для всех кругов коэффициент пропорциональности, названный позже «гиппократовыми луночками», который мог бы помочь в решении задачи в том случае, если бы круг можно было бы разбить на квадраты.
Некоторые математики пытались использовать для построения квадрата не только циркуль и линейку, но и другие — не только существующие, но и специально изобретенные для этой задачи инструменты, а также специальные кривые, самая известная из которых — квадратриса Динострата, придуманная Гиппием из Элиды. Однако, невзирая на все уловки, задача о квадратуре круга, которая в результате была сведена к поискам точного отношения длины окружности к ее диаметру, не поддалась ни одному пытливому уму. Единственное, что было найдено, так это весьма приблизительное решение задачи: диаметр окружности, в которую вписан квадрат, утраивается и складывается с 1/5 части стороны квадрата.
Немало линеек и циркулей было сломано неутомимыми математиками в поисках решения задачи о квадратуре круга, и только в конце XIX века немецким математиком Ф. Линдеманом было получено доказательство того, что эта знаменитая задача может быть решена только лишь (и никак иначе!) с привлечением дополнительных инструментов. Возможно, именно с этого времени словосочетание «квадратура круга» приобрела метафорическое значение неразрешимой задачи или безнадежного дела.