Многогранники: сколько же их

Правильные многогранники с давних пор привлекали внимание людей. Ими интересовались и ученые, и архитекторы, и строители, и деятели искусства, и маленькие дети, играющие кубиками. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами. Им посвящена 13-я книга «Начал» Евклида.

Вирус гепатита А, который вызывает болезнь Боткина, представляет собой правильный двадцатигранник — икосаэдр

Многогранники, как правильные, так и полуправильные, встречаются в природе: это и кристаллы, видимые невооруженным глазом, и вирусы, структуру которых можно различить только с помощью электронного микроскопа. Но что же такое многогранники? Мы знаем, что двумерная фигура — это множество отрезков, которые ограничивают часть плоскости, и называется она многоугольником. Отсюда понятно, что многогранник — это какое-то количество многоугольников, которые ограничивают часть трехмерного пространства. Многоугольники, которые образуют многогранник, называются его гранями.

С правильными многоугольниками все обстоит просто — их разнообразие бесконечно, хотя изобразить, например, миллионоугольник весьма проблематично. Но теоретически никаких ограничений на число сторон правильного многоугольника нет.

Многогранники могут отличаться бесконечным разнообразием, но большинство из них неправильные

Казалось бы, множество правильных многогранников тоже должно быть бесконечно, но это не так. Дело в том, что выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются одинаковые правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. А последнее условие выполняется только для трех многоугольников — треугольника, квадрата и пятиугольника. В вершинах выпуклого многогранника может сходиться три, четыре или пять правильных треугольников, только три квадрата либо только три правильных пятиугольника. Это доказал еще Евклид в своих «Началах».

Вот какие существуют правильные многогранники.

• Тетраэдр — пирамида, или четырехгранник, гранями которого являются четыре правильных треугольника и в каждой вершине сходятся три грани.
• Октаэдр — восьмигранник, гранями которого являются восемь правильных треугольников и в каждой вершине сходятся четыре грани.
• Куб, или гексаэдр, — шестигранник, гранями которого являются шесть квадратов и в каждой вершине сходятся три грани.
• Додекаэдр — двенадцатигранник, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников и в каждой вершине сходятся три грани.
• Икосаэдр — двадцатигранник, гранями которого являются двадцать правильных треугольников и в каждой вершине сходятся пять граней.

Правильные многогранники называются Платоновыми телами. Дело в том, что Платон (428—348 гг. до н. э.) считал, будто каждой стихии соответствует определенное тело — правильный многогранник. Тетраэдр соответствует огню, октаэдр — воде, икосаэдр — воздуху. Куб, как самый устойчивый, соответствует земле. А додекаэдр — это пятый элемент, из которого состоят небесные тела. Платоновы тела напоминают собой атомы различных элементов в нашем понимании.

Платоновы тела

Памятник Платону в Афинах" />

Памятник Платону в Афинах. На фоне — статуя древнегреческой богини Афины, покровительницы знаний, искусств и ремесел

Архимедовы тела

Кроме правильных существуют также полуправильные многогранники. Архимед, как считается, описал некоторые из них. Архимедовы тела — это такие многогранники, у которых, в отличие от платановых тел, все грани — правильные многоугольники двух или более типов, а все многогранные углы при вершинах равны.

Архимедовы тела