В школе мы изучаем геометрию, основу которой заложили математики Древней Греции и эллинистического мира. Она называется евклидовой.
Началось с того, что Александр Македонский завоевал Египет и основал там новую столицу, которую назвал своим именем — Александрия. Это послужило началом эпохи эллинизма, в течение которой греческое влияние распространилось на огромную территорию.
После смерти Александра соратники разделили его империю. Царем Египта стал Птолемей I Сотер. Он основал в Александрии академию (Мусейон), где в течение многих веков собирались выдающиеся ученые. Одним из таких ученых был Евклид. Он жил около 300 г. до н. э. и является автором сочинения «Начала» — труда, который лег в основу науки геометрии. «Начала» состоят из 13 книг, где собраны все знания по геометрии, накопленные к тому времени учеными. Евклид сумел построить логичную систему, основанную на определениях, аксиомах и постулатах. Постулаты задают базовые построения, а аксиомы, принимаемые без доказательств, — общие правила вывода. Все утверждения евклидовой геометрии следуют из них чисто логическим путем.
Вот известные постулаты Евклида, данные в его «Началах»:
Надо сказать, что под ограниченной прямой Евклид понимал отрезок.
Часто вместо пятого постулата приводят эквивалентную ему аксиому параллельных: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающуюся с данной. Отсюда делается вывод, что параллельные прямые не пересекаются.
Над этими постулатами работали и работают ученые в течение многих веков. Особый интерес вызвал пятый постулат. Он сильно отличается от всех остальных, и потому его пытались доказать, подобно теореме. Это не удалось, но в результате были созданы новые, необычные геометрии.
Рассказывают, что однажды царь Птолемей спросил Евклида, можно ли овладеть геометрией более коротким и менее утомительным путем, чем при помощи изучения его «Начал». На что ученый ответил: «В геометрии нет царского пути».