Теория фракталов
Еще в конце XIX — начале XX в. ученые математически описали необычные структуры, которые удалось изобразить много позже только с помощью компьютера. Это фракталы. Слово происходит от латинского fractus, одно из значений которого — «сломанный, разбитый». Широкую популярность фракталы обрели в 1983 г. после выхода книги Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы».
Действительно, у многих структур имеется фундаментальное свойство, которое называется геометрической регулярностью. Оно известно как инвариантность по отношению к масштабу, или самоподобие. Когда рассматриваешь некоторые объекты в разных масштабах, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эти закономерности повторяются и определяют дробную, или фрактальную, размерность структуры. Природные формы описываются фрактальной геометрией, вероятно, более изящно и точно, чем евклидовой.
Итак, фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.
В природе фракталов очень много. Возьмем, например, дерево, кровеносную систему, облако, берег моря. У них есть общее свойство — самоподобие. От ствола дерева отходят толстые ветки, от них — ветки потоньше и т.д. Фрагмент облака похож на большое облако. От артерий отходят артериолы, от них, в свою очередь, — капилляры. То есть ветка подобна всему дереву, а артериолы с капиллярами — всей кровеносной системе. То же самое происходит и с морским берегом. На космических снимках морского побережья видны полуострова и заливы, с высоты птичьего полета можно различить мысы и бухты, а если мы стоим на самом берегу, то видим уже мелкие неровности берега вплоть до камешков, которые выдаются в воду дальше, чем остальные. Таким образом, при увеличении масштаба неровная береговая линия остается неровной, похожей сама на себя.
В наши дни теория фракталов широко применяется в разных областях. Это фрактальная живопись: сегодня каждый может попробовать себя в ней, используя компьютер. Это теория информации, в которой свойство самоподобия фракталов используется для сжатия графических данных. Ведь для фрагмента рисунка требуется гораздо меньше памяти, чем для всего изображения. А восстановить целое можно из этого единственного фрагмента. Это география, где с помощью фрактальной геометрии можно создать весьма правдоподобные модели рельефа или поверхности водоемов. Это радиоэлектроника, где создаются антенны, обладающие фрактальной структурой. Они занимают меньше места, чем обычные, но обеспечивают качественный прием сигнала. Это экономика, где фрактальная математика описывает колебания курсов валют. Так что фракталы, можно сказать, вездесущи.
Бесконечна ли граница
Интересные результаты получаются и при измерении общих границ между двумя странами. Математик, физик и метеоролог Льюис Ричардсон обнаружил это, пытаясь дать математическое описание причин и вероятности войны между двумя государствами. Одним из параметров была протяженность общей границы. Собирая информацию, ученый изучал границы между всевозможными странами и обнаружил, что разные источники предоставляют различные данные об общей границе между Испанией и Португалией. Оказалось, что длина границ зависит от линейки, с помощью которой их измеряют. Чем крупнее масштаб, тем точнее измерение, тем больше ранее проигнорированных изгибов учитывается и тем длиннее граница! А если увеличивать масштаб бесконечно, то и граница окажется бесконечной. Хотя технически это невозможно — всякая точность измерения имеет свой предел. Этот парадокс носит название эффекта Ричардсона.
