Что такое логика
Надо сказать, что корни математической логики уходят в глубокую древность. Первые идеи о создании математической логики были выдвинуты Аристотелем. Затем Р. Луллия и Дж. Буля (1815-1864) создали аппарат математической логики. Фреге значительно расширил и развил логико-математические языки. Попытку изложить разделы математики на языке логики осуществил Дж. Пеано (1858-1932).
Аристотель
Все эти изыскания были подчинены одной цели — создание специального счетного устройства и соответствующий техническим вычислениям язык передачи информации. Надо сказать, что не менее важной проблемой математической логики является выбор исходных понятий и их обоснование.
Таким образом, можно сформулировать следующее определение математической логики (теоретическая логика или символическая логика) — это раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики.
Разные исследователи по-разному определяют этот раздел. Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу». Как утверждала Н. И. Кондакова, «математическая логика — вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков)».
А. А. Марков определяет современную логику как «точную науку, применяющую математические методы». Это многообразие определений дает возможность глубже проникнуть в этот сложный раздел математики.
Использование в логике математических методов становится возможным лишь в том случае, когда суждения формулируются на точном языке. Языки подобного рода имеют две стороны: синтаксис и семантику.
Правила построения объектов языка (как правило формул) называется синтаксисом. Семантика — это совокупность соглашений, определяющих точное понимание формул.
Огромную роль в современной математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчисление — это совокупность правил вывода, позволяющие считать некоторые формулы выводимыми. Все правила вывода подразделяются на два класса. Первые из них квалифицирую формулы как выводимые. Подобные правила вывода называют аксиомами. Другие позволяют считать выводимыми формулы А, которые синтаксически связанны с определенным способом конечного набора A1, ... An выводимых формул. Одним из наиболее распространенных правил второго класса является правило modus ponens: если выводимы формулы A и (A → B), то выводима и формула B. Отношение исчислений к семантике выражается посредством понятий семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, только в том случае, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Подобным образом, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.
Большинство из рассматриваемых в математической логике языков являются семантически полными и семантически пригодными исчислениями. Однако существует немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления практически невозможно.
Надо сказать, что на практике огромное количество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и, следовательно, входит в языки программирования — все это является важнейшим приложением методов математической логики.