Человек большого таланта и размеров, заслуженный артист РСФСР, любимец зрителей и талантливый актёр, сыгравший более ста разноплановых ролей. Знаменитый "Бывалый" из "Приключений Шурика" и "Самогонщиков".
В сороковых годах прошлого века он обучался на актёрском факультете ВГИКа, где дебютировал в ленте Александра Столпера "Дни и ночи". Примечательно, что в те времена Евгений Александрович был высоким и подтянутым, даже стройным. Именно таким он предстаёт в своей первой серьезной роли в неимоверно популярной «Молодой гвардии» (1948 году). Надолго эта роль стала единственной серьезной для молодого актёра. Лишь после множества проходных ролей он попал в десятиминутную ленту Леонида Гайдая «Пес Барбос и необычный кросс» (1969 год). Там он получил роль «Бывалого», ставшую визитной карточкой актёра и перенесённую в несколько последующих фильмов: «Операция Ы и другие приключения Шурика», «Самогонщики», «Бриллиантовая рука», «Кавказская пленница»...
Но Евгений Моргунов смог перешагнуть роль-маску «Бывалого» и убедительно сыграть в «Трёх Толстяках», «Сказке о потерянном времени», «Покровских воротах», «Ехали в трамвае Ильф и Петров». Кроме актёрского амплуа, Моргунов попробовал себя и в роли сценариста, написав четыре сценария, по одному из которых - «Когда казаки плачут» (авторская переработка ранних рассказов Шолохова) - в 1962 году сам поставил картину.
Из-за сложной экономической ситуации начала и середины девяностых годов фильмы, в которых Моргунов снимался в этот период, не выходили в широкий прокат и не снискали популярности у населения.
Написал сценарий к фильму Когда казаки плачут (1963)