Ошибка игрока, или как выиграть в казино

Монти и Карло уставились на крупье, сгребающего лопаточкой фишки с зеленого сукна на игорном столе. Они уже некоторое время не делали ставок, предпочитая смотреть, как развивается ситуация за столом. Но после того как пять раз подряд выпало красное, они уже с трудом сдерживались. Наконец терпение кончается. «Кто не рискует, тот не пьет шампанского» — мысль неоригинальная, но, вдохновившись ею, оба решают вступить в игру...

...Делая ставку, Монти думает:

«Красное пять раз подряд! Шестого раза быть не может. Ну, какова вероятность-то? По закону больших чисел должно выпасть черное».

В то же самое время Карло думает:

«А красному сегодня везет! Главное — не упустить удачу. Ставлю на красное».

«Ставки сделаны. Ставок больше нет», — объявляет крупье.

Кто же выиграет, Монти или Карло? Может, Карло, а может, и нет. Очевидно одно — оба они, как и миллиарды реальных игроков в мировой истории (самым древним игральным костям, найденным археологами, около пяти тысяч лет), пали жертвой так называемой ошибки игрока, или ложного вывода Монте-Карло.

«Следующим выпадет черное»

Монти совершенно прав: «красное», выпадающее пять раз подряд, это действительно необычно: вероятность (при условии, что игра идет честно и игнорируется вероятность выпадения зеро) составляет 1 к 32, а вероятность выпадения шести красных подряд — 1 к 64. Но эти вероятности верны только в начале последовательности, до первого оборота колеса рулетки. Ошибка Монти в том, что относительно редкое событие (пять красных подряд) уже произошло и никоим образом не влияет на то, какой цвет выпадет следующим. Вероятность, что в следующий раз выпадет красное, как всегда, 1 к 2, или 50:50. У колеса рулетки — как и у костей, лотерейных шаров и так далее — нет памяти, поэтому учитывать, что уже произошло, в попытке предсказать, что выпадет следующим, — бессмысленно. Невероятность любого прошлого события или последовательности событий никак не влияет на вероятность события будущего. В пренебрежении этим фактом и заключается ошибка игрока.

«Чувствую себя нарушителем закона больших чисел» Билл Молдин, 1945

«Красному везет!»

Разумнее ли рассуждает Карло? На самом деле нет. Как и Монти, он пытается предсказать будущее на основе событий, не имеющих на это будущее никакого влияния. И если прошедшие события действительно случайны, он точно так же совершает ошибку игрока. Но, разумеется, это касается только событий действительно случайных. Если лошадь выигрывает скачку четыре раза подряд, разумно предположить, что и в пятый раз она тоже выиграет. Но если при броске монеты двадцать раз подряд выпадает решка, разумней предположить, что с монетой что-то не так (например, она кривая).

Точно так же, если в рулетке красное выпадает четыре раза подряд, можно предположить, что с рулеткой что-то не в порядке и игра идет не честная. С другой стороны, четыре красных подряд — событие не настолько маловероятное, чтобы делать какие-либо выводы о честности игры, основываясь только на нем. Так что при отсутствии иных подтверждений жульничества Карло точно такой же простофиля, как Монти.

Казино не обыграешь

Азартные игры в казино должны приносить выгоду самому казино, и обычно существуют небольшие уловки, чтобы изменить вероятность в пользу банка. Например, в рулетке есть одно (в Европе) или два (в США) бесцветных поля, поэтому шансы выигрыша у черного или красного на самом деле несколько меньше, чем 1 к 2. В «двадцать одно» вы должны обыграть банк: получается, 21 очко банка «бьет» 21 очко игрока. Одному игроку вполне возможно однажды выиграть у казино, но в общем и целом казино всегда останется в выигрыше.

Покупаете лотерейные билеты? Лучше начинайте копать...

Какова вероятность, что одинаковая последовательность шести номеров в английской национальной лотерее выпадет два раза подряд? Примерно 1 к 200 000 000 000 000 (200 миллионов миллионов). Вероятность невелика, так что надо быть полным болваном, чтобы выбирать те же цифры, что выпали на прошлой неделе... На самом деле не большим болваном, чем тот, кто выбирает другие шесть цифр.

Это еще один случай ошибки игрока: после того, как одна последовательность цифр уже выиграла, вероятность повторного появления той же последовательности не выше и не ниже, чем у любой другой последовательности цифр, — всего-то 14 миллионов к 1. Таким образом, для людей, выбирающих наилучшую стратегию, нет никакой разницы, повторять одни и те же последовательности каждую неделю или регулярно выбирать новые, — разумнее, впрочем, вооружиться лопатой и начать искать клад у себя во дворе.

Закон больших чисел

В оправдание ошибки игрока часто приводят так называемый закон усредненности. Его смысл сводится к тому, что нечто с большей вероятностью произойдет в будущем, поскольку в прошлом оно случалось реже, чем предполагалось (или наоборот). Предполагается, что «на протяжении долгого времени обстоятельства сами собой выравниваются».

Привлекательность такого ложного подхода в его сходстве с настоящим статистическим законом больших чисел. Согласно этому закону, если подбросить монету несколько раз, соотношение выпавших «орлов» и «решек» может сильно отличаться от среднего числа (5 и 5 из десяти бросков); но при большом количестве попыток — скажем, тысяче — соотношение будет приближаться к среднему (500 и 500). И чем больше бросков, тем ближе будет соотношение к ожидаемому среднему. Итак, в серии случайных событий равной вероятности соотношение выровняется при достаточной продолжительности серии. Но никакого отношения к вероятности конкретного события этот закон не имеет — монета не знает о предсказанном среднем соотношении и не будет изо всех сил пытаться исправить любые отклонения от него. Неутешительно для игроков.