Теория хаоса

Однажды зимой 1961 года Эдвард Лоренц, метеоролог из Массачусетского технологического института проводил на громоздком и неуклюжем институтском ламповом компьютере простые симуляции погоды с помощью программы, которую сам написал. Он хотел повторить одну конкретную симуляцию, но не стал начинать с нуля — что всегда занимало много времени, — а взял исходные данные с распечатки предыдущего прогона. Он отошел налить себе чашку кофе, оставив компьютер работать, и вернулся, ожидая, что получит на выходе точное повторение предыдущего результата. К удивлению Лоренца, результат повторного прогона имел мало общего с результатом предыдущего.

Теория хаоса – это наука о сложных нелинейных динамических системах. Отцом теории хаоса считается американский метеоролог Эдвард Лоренц

Сперва Лоренц подумал, что в компьютере перегорела одна из ламп, но вскоре догадался, что все не так просто. Исходные данные, которые он ввел, компьютер округлял с шести знаков после запятой до трех — на распечатке, но не в памяти. Ученый предполагал, что столь малое отклонение — примерно одна тысячная — едва ли окажет существенное влияние на результат. Но именно это и произошло. Едва заметное различие в начальных условиях привело к огромным различиям в результатах.

Научные модели

Чтоб как-то совладать со сложностью природных явлений — к примеру, климата, — ученые создают модели — упрощенные аналоги реальных явлений, позволяющие обнаружить и математически описать те или иные закономерности. Принято считать, что поведение моделей детерминировано: будущее состояние модели может быть полностью выведено из ее нынешнего состояния на основе математических закономерностей. Этот процесс может проходить через множество итераций — повторений, каждое из которых будет использовать результаты предыдущей итерации как исходные данные, позволяя делать все более и более долгосрочные прогнозы.

Именно таким методом пользовался Лоренц в 1961 году. Лоренц повторно запустил расчёт не с абсолютно теми же исходными данными, а с округлёнными числами, напечатанными ранее программой. Разница была совсем небольшой, однако со временем траектории расчётов резко разошлись. Результат был не случайным: уравнения оставались детерминированными, но проявили сильную чувствительность к начальным условиям — одно из ключевых свойств хаотической динамики.

Чайки и бабочки

Почему симуляция Лоренца повела себя хаотически? Уравнения, используемые в предсказании погоды, описывают изменение некоторых существенных параметров, таких как температура, влажность, скорость и направление ветра. Важная особенность всех этих параметров в их взаимозависимости: например, уровень влажности зависит от температуры, а температура, в свою очередь, — от влажности.

В математических терминах важную роль играют нелинейные взаимосвязи между переменными: изменение одной величины может зависеть от других величин не пропорционально. Нелинейность сама по себе ещё не означает хаос, но при определённых условиях такие динамические системы могут проявлять чувствительность к начальным условиям.

Одно из важнейших свойств системы нелинейных уравнений — чувствительность к начальным условиям, которая так удивила Лоренца в 1961 году. Позже он доказал, что эта чувствительность не зависит от сложности, поскольку проявляется и в более простых моделях (например, конвекции), которые описываются всего тремя нелинейными уравнениями. В 1963 году один из коллег метеоролога заметил, что если идеи Лоренца верны, то «чайка одним взмахом крыла может изменить погоду во всем мире». К 1972 году живое существо, способное нарушить баланс в атмосфере, стало еще меньше — вышедшая в этом году статья Лоренца называлась «Может ли взмах крыла бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?». Так появился «эффект бабочки».

Порядок из беспорядка

«Оказывается, за фасадом порядка может скрываться пугающий хаос, — заметил американский ученый и писатель Дуглас Хофштадтер в 1985 году, — а внутри хаоса все равно скрывается пугающий порядок». Хаотические системы непредсказуемы, но это не значит, что их нельзя описать. Они вовсе не беспорядочны в обыденном, бытовом смысле. Уже в 1963 году простая модель конвекции, предложенная Лоренцом, показала поразительную упорядоченность: ее графическим выражением оказался дивной красоты абстрактный рисунок, напоминающий крылья бабочки, линии которого никогда не повторяются и не пересекаются. «Аттрактор Лоренца», как позже назвали изображение, стал первой из многочисленных топологических моделей хаотических систем, в которых плоскости складывались и растягивались, воспроизводя поведение и траекторию нелинейных систем. В 1970 году Бенуа Мандельброт и его коллеги разработали новую — фрактальную — геометрию, в которой появление порядка из хаоса демонстрируется нерегулярными фигурами, имеющими свойство самоподобия — их нерегулярность повторяется независимо от масштаба.

"Если даже в наших часах больше нет механизма, так с чего ему быть в нашем мире?"   Иэн Стюарт, британский математик, 1989

Лоренц заключил, что долгосрочное прогнозирование погоды может быть в принципе невозможно, но этим выводы из теории хаотического поведения систем отнюдь не ограничиваются. Сложные нелинейные системы встречаются во многих областях физики и биологии, однако далеко не всякая нелинейная модель обязательно хаотична. Хаотическое поведение возникает только в определённых режимах и при определённых параметрах. Теория хаоса распространилась на множество научных дисциплин, связанных лишь присущей предметам их изучения беспорядочностью: турбулентность в динамике жидкостей, флуктуации в динамике популяций, циклы заболеваний в эпидемиологии, фибрилляции сердца в физиологии человека, движение планет и звезд в астрономии, потоки машин в городском трафике. С философской точки зрения способность хаотических с виду систем проявлять почти гипнотическую и завораживающе прекрасную упорядоченность позволяет нам надеяться, что Вселенная все-таки познаваема, и смириться с ее почти неприличной беспорядочностью.

Монтировкой теории хаоса по механизму ньютоновских «часов»

Еще в 1960 году большинство ученых, в том числе и Эдвард Лоренц, посчитали бы, что незначительное отклонение в исходных данных не имеет большого значения. До появления теории хаоса предполагалось, что мир в целом работает согласно механистической, детерминистской модели, которую тремя веками раньше предложил Ньютон (словно безмерно сложный часовой механизм). С такой точки зрения природные явления, в частности погоду, сложно предсказать просто потому, что они сами по себе исключительно сложны; но в принципе такое предсказание возможно, если удастся полностью понять все участвующие в формировании явления физические процессы и получить доступ ко всем необходимым данным. И надежность прогнозов, в том числе и метеорологических, зависит исключительно от качества исходных данных. Теория хаоса показала важное ограничение такого представления: даже полностью детерминированная система может иметь конечный горизонт практической предсказуемости из-за чувствительности к малым ошибкам в начальных данных.

Поиски смысла в беспорядке

Понятие «эффект бабочки» применяется, как правило, в естественных науках, а обозначается им особое свойство некоторых хаотичных систем, согласно которому, даже небольшое воздействие на систему может иметь самые непредсказуемые и крупные последствия в каком-то другом месте и в другой момент времени

Согласно материалам NOAA, термин «эффект бабочки» быстро приобрел широкую популярность, но его истинное значение часто понимают неправильно. Обычно, говоря об «эффекте бабочки», имеют в виду, что зачастую причиной важных событий становятся мелочи, но на самом деле понятие это несколько шире. Взмах крыла бабочки становится причиной торнадо только в ограниченном смысле: торнадо могло бы и не возникнуть, если бы бабочка не взмахнула крылом, но на его появление так или иначе влияют миллионы, если не миллиарды, других факторов. Благодаря «эффекту бабочки» удалось оценить, насколько пугающе чувствительна система в целом даже к самым незначительным происходящим внутри нее событиям. А из этого следует, что определить все причины того или иного события в системе практически невозможно. Если даже совсем незначительные события, в том числе и те, о которых мы в принципе не можем ничего знать, способны вызвать изменения всей системы, вполне вероятно, что полностью детерминированная система окажется при этом совершенно непредсказуемой.