Закон Снеллиуса
Почему соломинка в стакане воды выглядит погнутой? Просто в воздухе и в воде свет распространяется с разными скоростями и световые лучи преломляются. Закон Снеллиуса, описывающий это преломление, объясняет возникновение миражных луж на горячей дороге и то, почему люди, плавающие в бассейне, кажутся коротконожками. Сегодня этот закон помогает создавать хитроумные материалы, которые выглядят невидимыми.
Когда луч света пересекает границу двух сред, в которых он распространяется с разными скоростями, например границу между воздухом и водой, его лучи преломляются. Это явление называется «рефракцией». Закон Снеллиуса описывает величину этого преломления для различных сред, а назван он так в честь голландского математика XVII века Виллеброрда Снеллиуса, хотя сам Снеллиус так его и не опубликовал. Его называют еще «законом Снеллиуса—Декарта», поскольку Рене Декарт опубликовал материалы Снеллиуса в 1637 году. Такое поведение света было хорошо известно и описывалось еще в X веке, однако объяснение оно получило лишь столетия спустя.
В более плотных средах — таких как вода или стекло в сравнении с воздухом — распространение света замедляется. Поэтому солнечный луч, достигая поверхности воды в плавательном бассейне, отклоняется в сторону дна. Отраженные лучи достигают наших глаз под меньшим углом, отклоняясь, в свой черед, в другую сторону, но мы-то предполагаем, что они идут к нам по прямой, поэтому ноги стоящего в бассейне человека выглядят укороченными. Подобным же образом на раскаленном шоссе возникает миражная лужа. Падающий с неба свет преломляется, чтобы скользнуть вдоль поверхности шоссе, потому что скорость его распространения изменяется в слое горячего воздуха. Горячий воздух не так плотен, как прохладный, свет уклоняется от вертикали, а мы видим отражение неба в асфальте, похожее на лужу воды.
Угол, под которым преломляется луч света, зависит от отношения скоростей его распространения в двух средах — строго говоря, отношение скоростей определяется отношением синусов углов падения света (измеренных от вертикали). Поэтому, когда свет переходит из воздуха в воду или в иную более плотную среду, луч его преломляется вовнутрь, а путь становится более крутым.
Коэффициент преломления
В вакууме (например, в пустом космосе) свет распространяется с фантастической скоростью — 300 миллионов метров в секунду. Отношение скорости его распространения в среде более плотной, например в стекле, к скорости распространения в вакууме называется «коэффициентом преломления среды». Вакуум имеет, по определению, коэффициент преломления, равный 1; среда с коэффициентом преломления, равным 2, уменьшает скорость света до половины его скорости в вакууме. Высокий коэффициент преломления среды означает, что луч света, проходя через нее, сильно переламывается.
Коэффициент преломления — это свойство самой среды. Можно создавать вещества (среды), обладающие определенными коэффициентами преломления, что бывает весьма полезно (например, в производстве стекол для очков, позволяющих избавляться от проблем со зрением). Мощность линз и призм зависит от их коэффициента преломления: чем мощнее линзы, тем выше коэффициент преломления.
Преломление происходит с любыми волнами, не только со светом. Скорость океанских волн спадает с увеличением глубины, имитируя изменение коэффициента преломления. Вследствие этого волны движутся под углом к мелководью, изгибаясь по мере приближения к нему, — буруны всегда идут параллельно наклонным отмелям.
Полное внутреннее отражение
Иногда, если луч света, проходя через стеклянную пластину, падает на ее границу с воздухом под слишком большим углом скольжения, луч не выходит в воздух, но отражается от внутренней поверхности стекла. Это явление называется «полным внутренним отражением», поскольку весь свет остается в стекле. Критический угол, при котором это происходит, определяется отношением коэффициентов преломления двух сред. Это явление возникает только при прохождении волн из среды с более высоким коэффициентом преломления в среду с более низким, например из стекла в воздух.
Принцип наименьшего времени Ферма
Из закона Снеллиуса вытекает принцип наименьшего времени Ферма, который постулирует, что луч света выбирает в любой среде путь, который он может пройти за минимальное время. Поэтому, проходя через совокупность сред с различными коэффициентами преломления, световой луч выберет путь самый быстрый, отдав предпочтение среде с малым коэффициентом преломления. По существу, это способ определения того, что представляет собой пучок света, и его можно вывести из принципа Гюйгенса, заметив, что лучи, проходящие по самым быстрым путям, имеют тенденцию усиливать друг друга и создавать световой пучок, тогда как лучи, следующие в самых разных направлениях, в среднем взаимно гасят друг друга. Математик Пьер Ферма выдвинул этот принцип в XVII веке, когда исследования оптики достигли пика своего развития.
Метаматериалы
В настоящее время физики разрабатывают новый класс особых материалов, именуемых «метаматериалами», которые при облучении их светом и другими электромагнитными волнами ведут себя совершенно по-новому. Метаматериалы создаются так, что при освещении их внешний вид диктуется скорее физической структурой этих материалов, чем их химическим составом. Природным метаматериалом является опал, кристаллическая структура которого влияет на то, как его поверхность преломляет и отражает свет, создавая блики различных цветов. В конце 1990-х были созданы метаматериалы с отрицательным коэффициентом преломления, в которых граница двух сред отклоняет луч света в противоположном обычному направлении. Если ваш друг войдет в бассейн, заполненный жидкостью с отрицательным коэффициентом преломления, то вы увидите не лицевую сторону его укороченных ног, а тыльную, да еще и спроецированную на лицевую сторону его тела. Материалы с отрицательным коэффициентом преломления можно использовать для создания «суперлинз», способных давать изображения куда более четкие, чем у самого лучшего стекла. В 2006 году физикам удалось получить метаматериал, получивший название «плаща-невидимки», поскольку он остается полностью невидимым для микроволн.
Сладко-сладко
Коэффициент преломления оказывается полезным инструментом в виноделии и производстве фруктовых соков. Виноделы используют рефрактометр (измеритель коэффициента преломления) для измерения содержания сахара в виноградном соке — прежде, чем обратить его в вино. Растворенный сахар увеличивает коэффициент преломления сока и показывает также, насколько крепким может получиться вино.
Всплеск
Плавательные бассейны — одна из любимых тем британского художника Дэвида Хокни. Он не только с наслаждением изображает, воспроизводя оптические эффекты, скользящие под водой тела людей, которые купаются солнечными днями в бассейне его калифорнийского дома, но и наделал в 2001 году шума в мире искусства, высказав предположение, что некоторые знаменитые художники начиная с XV столетия использовали при создании своих полотен линзы. Простые оптические устройства могут проецировать какую-либо сцену на холст, а художнику останется только обвести контуры и оживить картину красками. Вглядываясь в полотна старых мастеров, в том числе Энгра и Караваджо, Хокни обнаружил наводящую на размышления точность геометрических фигур.
Пьер Ферма, 1601-1665
Пьер Ферма был тулузским юристом, занимавшимся математикой в свободное время. После того как он вступил в переписку со знаменитыми математиками Парижа, репутация его возросла, но опубликовать что-либо он так и не смог. Ферма поссорился с Рене Декартом из-за выдвинутой тем теории преломления, заявив, что Декарт «на ощупь движется в темноте». Декарт рассердился, однако Ферма оказался прав. Позже Ферма придал своей работе форму принципа наименьшего времени.
Трудам Ферма помешала гражданская война во Франции и эпидемия чумы. Ферма продолжал работать над теорией чисел. Его помнят прежде всего за «последнюю теорему Ферма», которая утверждает, что сумма двух кубов сама кубом быть не может (и так далее, для степеней более высоких). Ферма записал на полях книги, что нашел поистине замечательное доказательство своей теоремы, но здесь, на полях, слишком мало места, чтобы привести его. Утраченное доказательство Ферма ставило математиков в тупик на протяжении трех веков, пока британский математик Эндрю Уайлс не доказал ее в 1995 году.