Законы Кеплера

Немецкий математик Иоганн Кеплер старался во всем отыскать повторяющиеся закономерности. Изучив астрономические таблицы, которые описывали петлеобразное движение Марса, он открыл три закона, определяющих орбиты планет. Кеплер описал движение планет по эллиптическим орбитам и объяснил, почему планеты, более удаленные от Солнца, вращаются вокруг него медленнее. Законы Кеплера преобразили астрономию и легли в основу ньютоновского закона всемирного тяготения.

Планеты вращаются вокруг Солнца, и те, что ближе к нему, движутся быстрее удаленных. Меркурий огибает Солнце всего за 80 земных дней. Если бы Юпитер двигался с той же скоростью, то совершал бы полный оборот за 3,5 земных года, тогда как у него уходит 12. Все планеты движутся также и относительно других планет, и некоторые словно движутся назад, — это потому, что Земля нагоняет их. Во времена Кеплера такие «ретроградные» движения были для астрономов большой загадкой. Именно ее разрешение и позволило Кеплеру разработать три закона движения планет.

«Меня вдруг поразила мысль, что эта маленькая горошина, красивая и голубая, и есть Земля. Я поднес к одному глазу большой палец, закрыл другой, и мой палец заслонил всю Землю. Я не ощутил себя великаном. Я почувствовал себя очень, очень маленьким» Нил Армстронг, р. 1930

Иоганн Кеплер, 1571-1630

Иоганн Кеплер

Астрономию Иоганн Кеплер любил с детства — записи о кометах и лунных затмениях появились в его дневнике, когда ему не было еще и десяти лет. Учительствуя в Граце, Кеплер разработал космологическую теорию, которую и опубликовал в труде «Mysterium Cosmographicum» («Тайна мира»). Впоследствии он помогал астроному Тихо Браге в его обсерватории под Прагой, а в 1601 году унаследовал от него должность Императорского математика. Кеплер составлял гороскопы для императора и, анализируя астрономические таблицы Тихо, опубликовал свои теории некруговых орбит, а также первый и второй законы планетарного движения («Astronomia Nova» — «Новая астрономия»). В 1620-м мать Кеплера, занимавшуюся траволечением, посадили в тюрьму как ведьму, и лишь благодаря усилиям Кеплера ей удалось вернуть свободу. Однако он продолжал работу и опубликовал свой третий закон планетарного движения в книге «Harmonices Mundi» («Гармония мира»).

Структура многогранников

Немецкий математик Иоганн Кеплер старался найти в природе повторяющиеся закономерности. Он жил на рубеже XVI и XVII веков, когда к астрологии относились очень серьезно, а астрономия пребывала в состоянии младенчества. Религиозные идеи представлялись такими же важными для выявления законов природы, как и наблюдения. Будучи мистиком, верившим, что основная структура вселенной построена на совершенных геометрических фигурах, Кеплер старался обнаружить в природе закономерности, связанные с правильными многогранниками.

Кеплер трудился через сто лет после того, как польский астроном Николай Коперник высказал предположение, что Солнце находится в центре вселенной, Земля же вращается вокруг него, а не наоборот. Со времен же древнегреческого философа Птолемея считалось, что Солнце и звезды вращаются вокруг Земли, двигаясь по поверхности твердых хрустальных сфер. Коперник не решился опубликовать свои радикальные идеи, пока был жив, и лишь перед самой смертью попросил коллегу сделать это. Предположение Коперника, что Земля не центр вселенной, — а из этого следовало, что и люди не самые главные в ней существа, опекаемые антропоцентрическим Богом, — взволновало многие умы.

Николай Коперник

Кеплер принял гелиоцентрическую концепцию Коперника, но сохранил веру в то, что планеты движутся вокруг Солнца по круговым орбитам. Он думал о системе, в которой орбиты планет лежат внутри вереницы вложенных одна в другую сфер, расстояния между которыми определяются математическими соотношениями, выведенными из размеров вписанных в эти сферы трехмерных геометрических фигур. Воображению его рисовались вписанные в сферы многогранники со все возрастающим числом граней. Основная идея состояла в том, что законы природы следуют основным геометрическим соотношениям, выведенным древними греками.

Слово «планета» происходит от греческого «блуждающая». Поскольку планеты нашей Солнечной системы находятся к Земле намного ближе, чем далекие звезды, они выглядят блуждающими по небу. Ночь за ночью планеты пролагают себе путь среди звезд. Однако время от времени путь каждой обращается вспять — планета описывает небольшую петлю. Такие ретроградные движения считались дурными знамениями. Птолемеева модель планетарного движения понять такое поведение планет не могла, и потому астрономы добавили к орбитам планет «эпициклы», или дополнительные петли. Но и эпициклы помогали плохо. Солнце-центричная модель вселенной Коперника требовала меньше эпициклов, чем земле-центричная, однако и она тонких деталей не описывала.

«Мы — всего лишь передовое племя обезьян, обитающее на малой планете очень заурядной звезды. Но мы обладаем способностью понимать вселенную. И это делает нас существами совершенно особыми» Стивен Хокинг, 1989

Пытаясь смоделировать орбиты планет так, чтобы они подтвердили его геометрические идеи, Кеплер использовал сложные таблицы движения планет, составленные Тихо Браге. И обнаружил в этих колонках цифр повторяющиеся закономерности, которые навели его на мысль о трех сформулированных им впоследствии законах.

Первый революционный прорыв Кеплера состоял в том, что он разобрался в ретроградном движении Марса. Кеплер понял, что попятные петли можно объяснить, если планеты вращаются вокруг Солнца по орбитам эллиптическим, а не круговым. Ирония состояла еще и в том, что из того вытекало: природа не следует совершенным геометрическим формам.

Орбиты

Первый закон Кеплера гласит, что орбита планеты представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон Кеплера описывает скорость движения планет по их орбитам. Планета за равные промежутки времени покрывает сегменты равной площади. Сегмент измеряется углом между Солнцем и двумя положениями планеты на ее орбите (АВ или CD) и сильно смахивает на ломоть круглого пирога. Поскольку орбиты эллиптичны, близким к Солнцу надо проходить большее расстояние, чтобы покрыть такую же площадь, какую покрывает за то же время более удаленная планета. Поэтому чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она вынуждена двигаться. Второй закон Кеплера связывает расстояние, которое отделяет планету от Солнца, со скоростью ее движения. Сила притяжения Солнца придает более близкой к нему планете большее ускорение, хотя Кеплер знать этого, разумеется, не мог.

Третий закон Кеплера является еще одним шагом вперед, устанавливая связь между периодом обращения планеты по эллипсу с расстоянием, отделяющим ее от Солнца. Согласно этому закону, квадраты периодов обращения пропорциональны кубу длинной оси их орбит. Чем длиннее эллиптическая орбита, тем больше период обращения по ней. Планете, которая находилась бы от Солнца вдвое дальше, чем Земля, потребовалось бы восемь наших лет, чтобы обогнуть его. Итак, далекие от Солнца планеты движутся медленнее, чем близкие к нему. Марс обходит Солнце почти за два земных года, Сатурн — за 29, а Нептун — за 165.

«Прежде я измерял небеса, Теперь измеряю тени, В небо ушел мой разум, Тело лежит в земле» Эпитафия Кеплера, 1630

Сформулировав три своих закона, Кеплер сумел описать орбиты всех планет нашей Солнечной системы. В той же мере его законы приложимы и к любому телу, вращающемуся вокруг какого-то другого, — от комет, астероидов и спутников планет Солнечной системы до планет, которые обращаются вокруг других звезд, и даже искусственных спутников Земли. Кеплеру удалось соединить эти принципы в геометрические законы, однако на чем эти законы держатся, он не знал. Кеплер верил, что основу их составляют присущие природе фундаментальные геометрические закономерности. Понадобился Ньютон, чтобы объединить его законы в теории всемирного тяготения.