Бутылка Кляйна

Те, кто, узнав на нашем сайте о листе Мебиуса, задастся вопросом: «Что получится, если лист Мебиуса станет трехмерным», будут весьма удивлены, т.к. ответом будет — бутылка. Однако не простая, а «волшебная» бутылка Клейна, автором которой в 1882 году стал немецкий математик Феликс Клейн.

Кстати, бытует мнение, что бутылка — на самом деле не «бутылка» (нем. Flasche), а созвучное ей слово «поверхность» (Fläche).

В чем особенность бутылки Клейна и отличие ее от обычной бутылки? «Нормальная» бутылка имеет традиционное устройство: две поверхности (внутреннюю и наружную) и край (горлышко). Бутылка Клейна лишена и первого, и второго, и третьего: ее наружная поверхность «незаметно» (непрерывно) превращается во внутреннюю, подобно тому, как одна поверхность листа Мебиуса неожиданно для нас становится другой.

Несмотря на то, что трехмерное пространство не допускает существования бутылки Клейна (в этом случае непременно бутылка должна будет пересекаться с собой), всегда есть возможность получить ее в своем воображении. Для этого представим себе трубку, в одном конце которой предусмотрено отверстие. В него, предварительно слегка оттянув и загнув вверх, вставим противоположный край. После этого необходимо склеить концы и любоваться удивительным явлением — бутылкой Клейна, возможной без самопересечения только в четырехмерном пространстве.

Писатель-фантаст Стифен Барр, не смирившийся с невозможностью увидеть наяву настоящую бутылку Клейна, придумал «складывать» ее из обычного листа бумаги. Конечно, эта конструкция также не будет являться бутылкой Клейна в полном смысле слова (ну никуда нам не деться из трехмерного пространства!), однако, в отличие от попыток на стекле — некоторые высококлассные стеклодувы создают стеклянные псевдо-бутылки, делая дополнительное отверстие в стенке — бумага скроет обязательное отверстие — место самопересечения бутылки. Для того чтобы получить бумажную бутылку Клейна, сначала следует склеить края листа бумаги, предварительно перегнутого пополам, чтобы получилась трубка. Одну из половинок листа необходимо прорезать перпендикулярно склеенным сторонам таким образом, чтобы расстояние между прорезью и верхним краем трубки соответствовало приблизительно ¼ листа. Затем, согнув «конструкцию» пополам, нужно провести ее нижний край в прорезь, после чего склеить верхнее и нижнее основания.