Числа Фибоначи
В период позднего Средневековья в итальянском городе Пиза жил один из великих математиков Европы того времени Леонардо Фибоначчи. Леонардо из Пизы родился в богатой купеческой семье. В юности Леонардо вместе с отцом очень много путешествовал. Долгое время Фибоначчи жил в Византии и на острове Сицилия, где он общался с местными учеными и математиками.
Впоследствии математика стала для Леонардо Фибоначчи делом всей жизни. Им было написано много научных трудов. Наиболее известные из них, это «Книга абака», написанная в 1202 году, но дошедшая до нас лишь во втором издании, которое относится к 1228 г; «Практики геометрии» 1220г.; «Kнига квадратов» (1225г.).
Кстати сказать, что математика для Леонардо Фибоначчи в начале его карьеры была лишь полезным средством для установления деловых контактов и получения практической выгоды.
Математические сочинения Леонардо Фибоначчи по своему уровню значительно превосходят труды арабских и других европейских ученых. Книги Фибоначчи на протяжении долгого времени вплоть до семнадцатого века являлись лучшими учебниками для математиков.
Из вышеперечисленных книг наибольший интерес для нас представляет «Книга абака» («Liber abacci», ). Сочинение Фибоначчи представляет собой грандиозный труд, включающий в себя практически все арифметические и алглебраические сведения того времени. «Книга абака» сыграла важную роль в дальнейшем развитии математической науки в Западной Европе. В частности, именно книга Фибоначчи познакомила европецев с индусскими, или арабскими цифрами.
Весь представленный в книги материал разъясняется с помощью решения интересных задач. Одна из них особенно интересна:
Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.
Из этого следует, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по-прежнему иметь одну пару. На следующий 3-й месяц — 1+1=2; на 4-й — 2+1=3 пары, поскольку из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара; на 5-й месяц- 3+2=5 пар (из них лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц- 5+3=8 пар (так как потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.
Таким образом, можно обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через Fk , то F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и т. д., причем образование этих чисел проходит по общему закон:
Fn=Fn-1+Fn-2,
При этом n>2, потому, что число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце.
Следовательно, числа Fn , образуют следующую последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... Впоследствии эти стали называться «числами Фибоначчи»,а сама последовательность — последовательностью Фибоначчи.
Резюмирая, можно сказать, что суть последовательности Фибоначчи заключается в том, что начиная с единицы следующее число получается сложением двух пpедыдущих.
Возникает вопрос, чем же так важна последовательность Фибоначчи? Не ограничивается ли сфера применения чисел Фибоначчи только для подсчета кроликов?
С того момента, как Фибоначчи открыл свою последовательность, было найдено огромное количество явлений природы, в которых эта последовательность играла важную роль. К примеру, филлотаксис — это правило, по которому располагаются листья на деревьях или семечки в соцветии.
Интересно узнать, что в соцветии подсолнуха семечки расположены в два ряда спиралей, один из которых направлен по часовой стрелке, другой — против часовой стрелки.
Важно отметить, что последовательность Фибоначчи постепенно стремится к некоторому постоянному соотношению. Но, надо сказать, что это соотношение непостижимо и иррационально. Таким образом, идеальное соотношению представляет собой число с бесконечную последовательность десятичных цифр в дробной части, то есть его невозможно выразить точно.
Если один из членов последовательности Фибоначчи pазделить на пpедшествующий ему, к примеру, 55:34, 13:8, 233:144, то в результате будет получена величина, колеблющаяся около иppационального значения 1.61803398875... Каждый раз это значение то несколько превосходит, то не достигает идеального числа.
Другой известный математик эпохи Средневековья Лука Пачиоли назвал это соотношение — Божественной пропорцией. Позднее его также стали назвать Золотое сечение. Иоганн Кеплер утверждал, что это соотношение является одним из «сокровищ геометрии». В алгебре общепринятым значением Золотого сечения является греческая буква «фи»: Ф. А для краткости значение божественной пропорции было округлено до 1.618.
Числа и последовательность Фибоначчи в настоящее время особую роль играют в изучении природных явлений и развитии технического анализа.