Геометрические фракталы
Пример фрактала
История фракталов в XIX веке началось именно с изучения геометрических фракталов. Фракталы ярко отражают свойство самоподобия. Наиболее наглядными примерами геометрических фракталов являются:
- Кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины. Эта кривая не имеет касательной ни в одной точке.
- Множество Кантора — неплотное несчётное совершенное множество.
- Губка Менгера — это аналог множества Кантора с тем лишь отличием, что построен этот фрактал в трехмерном пространстве.
- Треугольник или ковер Серпинского также является аналогом множества Кантора на плоскоти.
- Фракталы Вейерштрасса и Ван дер Вардена представляют собой не дифференцируемую непрерывную функцию.
- Траектория броуновский частицы также не дифференцируема.
- Кривая Пеано — это непрерывная кривая, которая проходит через все точки квадрата.
- Дерево Пифагора.
Пример фрактала
Рассмотрим более подробно построение одного из таких фрактальных объектов — триадную кривую Коха.
Для построение кривой существует простая рекурсивная процедура образования фракта кривых на плоскости. В первую очередь необходимо задать произвольную ломаную с конечным числом звеньев, так называемым генератором. Далее каждое звено заменяется образующим элементом, точнее ломаной, подобной генератору. В результате такой замены образуется новое поколение кривой Коха. В первом поколении кривая состоит из четырех прямолинейных звеньев, длина каждого из которых равна 1/3. Чтобы получить третье поколение кривой выполняют тот же алгоритм — каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Таким образом, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего заменяются уменьшенным образующим элементов. Тогда, кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. В случае, когда n стремится к бесконечности кривая Коха становится фрактальным объектом.
Пример фрактала
Обратимся к другому способу построения фрактального объекта. Для его создания необходимо изменить правила построение: пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменяем единичный отрезок на образующий элемент таким образом, чтобы угол был сверху. То есть, при такой замене происходит смещение середины звена. Последующие поколения строятся по правилу: первое слева звено заменяется на образующий элемент тким образом, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения. Далее замена звеньев чередуется. Предельная фрактальная кривая, построенная по такому правилу, называется драконом Хартера-Хейтуэя.
В компьютерной графике геометрические фраткалы используются для моделирования изображений деревьев, кустов, горных массивов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы широко используются для создания объемных текстур.