Как измерить планету?

Что, если вы неожиданно окажетесь на другой планете? Сможете выяснить, насколько она большая?

Конечно же, это задача не первостепенная, но просто представьте себе... Как измерить нечто настолько крупное, что не обойти?

Круглая или плоская?

Несмотря на популярную легенду, мало кто считал, что Земля плоская. Тот простой факт, что вы можете увидеть, как нечто появляется на горизонте, демонстрирует, что она не может быть плоской. Тот, кто стоит на берегу моря и наблюдает, как приближается корабль, может видеть, что мачта — самая высокая часть — появляется первой, а потом остальная часть корабля медленно появляется над горизонтом. Такое возможно, только если поверхность Земли закруглена. Если бы Земля была плоской, удаленный объект появлялся бы крошечным, но сразу в полный рост, и только бы размер увеличивался по мере приближения.

Вам не нужно находиться рядом с морем, что, в принципе, хорошо, так как на чужой планете может и не быть морей или кораблей. Тот факт, что с возвышенности можно видеть дальше, также указывает на то, что Земля закруглена.

Где находится горизонт?

Если вы стоите на равнине или на уровне моря, на которое смотрите, самый дальний участок той же высоты (на Земле), который вы сможете увидеть, находится в 3,2 км.

Предполагается, что ваши глаза находятся на «уровне глаз» (т. е. вы не лежите на полу) и ваш рост около 1,8 м. Вы можете видеть вершины высоких объектов, которые находятся дальше. Если вы стоите на холме или на палубе корабля, вы можете видеть дальше, чем 3,2 км.

Весь путь вокруг

Размер Земли занимал мысли людей задолго до того, как у них появились подходящие технологии для ее измерения. Насколько мы знаем, древнегреческий философ Эратосфен был первым, кто попробовал посчитать окружность Земли. Он жил в египетском городе Александрия и провел эти вычисления около 240 г. до н. э.

Эратосфену было известно, что в соседнем городе Сиена был колодец, в котором, если заглянуть в него в полдень дня летнего солнцестояния, отсутствует тень.

Отсутствие тени в колодце означало, что солнце находится точно над ним и светит строго вниз. Также он знал, что в его родном городе в полдень этого дня не найти такого колодца без тени. (Это потому, что Александрия расположена севернее Сиены.)

Эратосфен понял, что если сравнит тень в Александрии с отсутствием тени в Сиене, он сможет выяснить длину окружности Земли. Он измерил угол, образованный высокой башней в Александрии и краем ее тени в полдень (когда, как он знал, в Сиене нет теней). Угол равнялся 7,2 градуса. Он знал, что когда линия пересекается двумя параллельными, то внутренние накрест лежащие углы равны. Лучи солнца практически параллельны, так как их источник находится очень далеко.

Это означает, что угол к центру Земли (которую он считал сферической) между линиями, проведенными из Сиены и Александрии, будет тем же, что и угол тени, отброшенной башней. Отношение

полный круг (360°) : полученный угол

будет равно отношению

длина окружности Земли : расстояние между Сиеной и Александрией

Эратосфену было известно расстояние между двумя городами. К сожалению, мы не знаем точное расстояние, которое он использовал в расчетах, — он писал о 5000 «стадиях», но нам не известно, какой длины была его «стадия».

По счастливому стечению обстоятельств, 7,2 градусов являются 1/50 окружности (360 ÷ 7,2 = 50). Отсюда длина окружности равна 5000 х 50 = 250 000 стадий.

Возможно, Эратосфен был прав с точностью до 1% от истинной длины окружности, или, если он использовал другую длину стадии, он мог ошибиться на 16%. Даже если так, это неплохой результат. Используя его расчеты угла и действительное расстояние между городами, 800 км, мы получим длину окружности

50 х 800 км = 40 000 км

Реальная длина окружности Земли — 40 075 км.

На другой планете

Итак, если вы окажетесь на другой планете, у вас будет два способа узнать ее размер.

Чтобы использовать метод Эратосфена, вам понадобится найти место, где солнце не отбрасывает тени в полдень; затем надо измерить угол тени там, где она есть. Конечно, у вас может не оказаться с собой угломера, так что этот метод ненадежен. Альтернативный метод — измерить расстояние до горизонта.

Чтобы использовать этот метод, вам понадобится измерить, можно шагами, насколько далеко можно отойти от объекта, прежде чем он исчезнет за горизонтом. Это уравнение поможет вам выяснить, как далеко можно видеть на разных высотах:

d² = (r + h)² — r²

где d — это расстояние, на которое вы можете видеть, r — радиус планеты и h — расстояние от ваших глаз до земли (все расстояния в одинаковых единицах измерения).

Здесь использована теорема Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Вы можете использовать это, чтобы выяснить значение r (радиуса планеты).

Раскрываем скобки

d² =

(r + h)² — r² =

r² + 2hr + h² — r² =

2hr + h²

Таким образом, если вы можете видеть нечто на расстоянии 10 км, а ваши глаза находятся на высоте 1,5 м (т. е. 0,0015 км), то

10² = 2 х 0,0015r + 1,5²

100 = 0,003r + 2,25

100 — 2,25 = 0,003r

97,75 = 0,003r

3258 = r

После этого вам понадобится выяснить длину окружности, 2 πr:

2 х π х 3258 = 20 473 км

Не пытайтесь обойти эту планету!