Отец геометрии
В 332 г. до н.э. Александр Македонский без единой битвы покорил Египет. Чтобы закрепить свою власть над этой страной, Александр провозгласил себя фараоном. Заодно он решил построить там город, назвав его собственным именем. Именно в Александрии родился один из наиболее знаменитых математиков в истории — Евклид.
О жизни Евклида сохранилось мало сведений, куда больше мы знаем о его трудах. На протяжении многих столетий слова «математика» и «Евклид» воспринимались европейцами практически как синонимы. Не следует думать, что Евклид сам открыл все математические истины, которые встречаются на страницах его книг. На самом деле он собрал воедино и упорядочил значительную часть математических знаний древних греков. Предшественники Евклида — Фалес, Платон, Пифагор, Аристотель и другие — много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема. Целью Евклида было построить систему так, чтобы в ней не оставалось места для неоправданных допущений, основанных на угадывании, интуиции или приблизительности. То есть он заимствовал результаты у предшественников, дополнил своими достижениями и оставил все это богатство последователям.
Главная работа Евклида «Начала» в основном содержит изложение геометрии. Кроме того, в ней рассмотрен ряд вопросов теории чисел и некоторые разделы алгебры, которые, правда, все изложены с геометрических позиций. За время существования труда, вплоть до XX в., было продано больше его экземпляров, чем Библии.
Книга I «Начала» посвящена учению о тре-угольниках, параллелограммах и многоугольниках. В книге III рассматриваются окружности и их свойства. В книге IV речь идет о многоугольниках, вписанных в окружность или описанных около нее. Книга VI содержит учение о подобии треугольников и многоугольников. Книги XI—XX отведены стереометрии. Во всех этих книгах содержатся доказательства 465 теорем, исчерпывающих практически все геометрическое знание того времени.
Евклид дал определения точке, линии (прямой или искривленной), окружности, прямому углу, плоскости и поверхности. Некоторые понятия он определил довольно точно. «Параллельные прямые, — писал он, — это прямые линии, которые, находясь на одной плоскости, продолженные до бесконечности в обоих направлениях, ни в одном из этих направлений не пересекаются».
Окружность по Евклиду есть «плоская фи-гура, обозначенная одной линией (кривой) так, что все прямые линии, пересекающие ее и еще одну из точек внутри нее, называемую центром, равны друг другу». О прямом угле сказано так: «Когда прямая линия пересекает другую прямую линию, а образующиеся соседние углы равны друг другу, любой из этих углов прямой».
Оказывается, что это предположение логически эквивалентно существованию в точности одной линии, параллельной заданной линии и проходящей через заданную точку вне этой линии.
О чем еще поведал Евклид
Евклид осуществил два великих нововведения. Первое — это идея доказательства. Евклид не считал любое математическое утверждение истинным, пока оно не установлено с помощью последовательности логических шагов, позволяющих вывести данное утверждение из того, что уже известно.
Второе нововведение — это осознание того факта, что процесс доказательства должен начинаться с исходных утверждений, которые доказать нельзя. Евклид формулирует пять таких фундаментальных предположений-постулатов, на которых основываются все его дальнейшие построения. Четыре из них просты и очевидны: две точки можно соединить прямой линией; любой конечный отрезок прямой можно продолжить; можно провести окружность с любым центром и любым радиусом; все прямые углы равны между собой.
Но вот пятый постулат совсем другого рода. Он длинный и сложный, а утверждаемое в нем вовсе не столь очевидно. Его основное следствие состоит в существовании параллельных прямых — таких, которые никогда не пересекаются, но продолжаются без ограничения в одном и том же направлении, при этом всегда находясь на одном и том же расстоянии друг от друга. Как два рельса железной дороги.
В действительности Евклид определяет требование, чтобы при пересечении двух линий третьей первые две пересекались с той стороны, где два образованных угла дают в сумме величину, меньшую суммы двух прямых углов.
Следствия из евклидовых аксиом
На основе логических построений, опираясь на свои аксиомы, Евклид получил ряд важных результатов:
- квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон (это утверждение мы знаем как теорему Пифагора);
- любой угол можно точно разделить на две равные части, используя только циркуль и линейку;
- можно построить правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6, 8,10 и 12 сторонами, используя только циркуль и линейку;
- имеется ровно пять правильных тел: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Здесь эти теоремы, как называются любые обладающие доказательством математические утверждения, изложены на современном языке. Но язык Евклида сильно отличался: он не работал непосредственно с числами. Все, что мы интерпретируем как свойства чисел, формулируется у него в терминах длин, площадей и объемов.