Пандемии с точки зрения математики
Пандемии — это ужасно. Пандемия — это эпидемия, которая распространяется на целый континент или даже по всему миру.
Чума на оба ваших дома
Самая известная пандемия — Черная смерть, которая в 1346–1350 гг. убила около 50 миллионов человек в Азии, Европе и Африке. Большинство историков медицины считает, что это была особая форма чумной палочки Yersinia pestis, бактерии, вызывающей бубонную чуму. Следующая крупная пандемия была вызвана новым штаммом гриппа в 1918–1919 гг. Она распространилась по всему миру, убив 50–100 миллионов человек. Число, сопоставимое с количеством погибших от Черной смерти, но численность населения планеты в 1918 г. была значительно больше (около двух миллиардов), чем в 1346 г. (около 400 миллионов). Может ли это случиться снова?
Стоит ли нам бояться?
Немного обнадеживает, что глобальные пандемии такого масштаба случились лишь дважды. Но мир изменился за последние 100 лет. С современной системой и скоростями международного сообщения, Черной смерти понадобилось бы всего несколько недель или месяцев, чтобы распространиться по всему Земному шару, а не годы, как в Средние века, когда никто не мог перемещаться быстрее, чем лошадь (которая чаще не скакала, а еле плелась). Теперь математика совсем другая.
Путь к успеху для патогенов
Эпидемические и пандемические заболевания, такие как грипп или бубонная чума, вызываются патогенами — обычно бактериями или вирусами. Чтобы стать причиной эпидемии, патогену необходимо:
- легко передаваться от человека к человеку
- передаваться до того, как человеку станет настолько плохо, что он не сможет выходить и вступать в контакты с другими потенциальными жертвами
- позволять людям жить достаточно долго, чтобы увеличить количество зараженных
В идеале, патогену необходимо знать математику, чтобы все правильно спланировать.
Снова, и снова, и снова — скорость воспроизводства
Критическим числом в определении, может ли случиться эпидемия, является основное репродуктивное число инфекции, обозначаемое как R0. Оно показывает, сколько человек может заразить один инфицированный индивидуум в течение активного периода заболевания, то есть пока он либо не умрет, либо не победит инфекцию и больше не будет ее носителем. Чем больше R0, тем больше шансы патогена вызвать пандемию. В простой модели, если R0 < 1, эпидемии не будет, а если R0 > 1 — эпидемия будет, хотя на практике все несколько сложнее. R0 можно вычислить, собрав данные об отдельных случаях и проследив их контакты и количество зараженных, или собрав данные о распространении инфекции в целой популяции. Эти два метода часто дают различные результаты, что делает эпидемиологию (учение об эпидемиях) довольно противоречивой.
Для вычисления R0:
R0 = Ʈ х c̄ х d
Ʈ — это коэффициент передачи, т. е. вероятность заражения, когда зараженный человек находится в контакте с восприимчивым индивидуумом. Если зараженный человек имел контакты с четырьмя индивидуумами и один из них заразился, заразность — 1 к 4, или 1/4.
c̄ — это среднее число контактов между восприимчивыми и зараженными людьми, делим контакты на время. Если между зараженным и восприимчивым индивидуумами за неделю происходит 70 контактов, уровень контактов в день 70/7 = 10.
d — продолжительность заразности, т. е. сколько времени некто остается заразным (в тех же единицах измерения, в которых было вычислено c̄).
Если заболевание делает человека заразным на четыре дня, коэффициент передачи — 1/4 и уровень контактов — 10, тогда:
R0 = 1/4 х 10 х 4 = 10
Этот патоген имеет высокий шанс инфицировать множество людей!
Другой важный фактор — сколько человек восприимчиво. Люди не восприимчивы, если у них сформирован иммунитет: либо они уже переболели конкретной инфекцией, либо были вакцинированы против нее. К новому штамму или инфекции, вероятно, восприимчивы будут все, что сильно упростит распространение инфекции.
Общим правилом считается, что чем выше значение R0, тем сложнее контролировать распространение инфекции. Так как существует множество способов подсчитать R0 (некоторые для полевых условий, а некоторые — теоретические), цифры не очень достоверны. Но это лучшее, что у нас есть.
Мы — не числа
Число R0 может быть только приблизительным. Обычно оно базируется на предположении, что население и количество контактов в нем гомогенны (равномерно распределены). Но такое редко встречается в реальности, потому что одни люди оказываются восприимчивее других. Например, некоторые люди будут пересекаться с большими, но негомогенными группами, такие как учителя, которые находятся в контакте с группами детей, или пожилые люди, которые живут в домах престарелых. Те же, кто живут одни или в изолированном сообществе, будут иметь ограниченное количество контактов.
Все меняется
Значение R0 заболевания меняется в течение эпидемии или пандемии. Две переменных в уравнении, коэффициент передачи и уровень контактов, зависят от числа восприимчивых индивидуумов. Заболевание продолжает функционировать как эпидемия, пока число восприимчивых индивидуумов не упадет; люди больше не восприимчивы, поскольку уже заболели и выздоровели (либо умерли).
Вначале все контакты инфицированных индивидуумов — с восприимчивым (при отсутствии вакцинации) населением.
По мере распространения инфекции многие из контактировавших заболели и, следовательно, больше не являются восприимчивыми:
Число R0 будет меньше. Рано или поздно оно упадет ниже единицы, и эпидемия закончится.
Сделай прививку!
Работа вакцины заключается в сокращении числа восприимчивых индивидуумов в популяции. Если большая часть населения вакцинирована, вероятность того, что инфицированный человек войдет в контакт с восприимчивым индивидуумом, не велика, и эпидемия не сможет начаться. Это называется иммунитет населения, он помогает защитить тех, кто не может сделать прививку (потому что у них рак или ВИЧ, например). Таким образом, уменьшается вероятность того, что они войдут в контакт с инфицированным человеком, поскольку у большинства, кого они встретят, будет иммунитет. Если они столкнутся с заболеванием, у них не будет собственной защиты против него, следовательно, чем выше иммунитет населения, тем они в большей безопасности.
Если бы вакцина была на 100% эффективна в предотвращении заболевания, долю людей в популяции, которую нужно было бы привить для предотвращения эпидемии, ориентировочно можно было бы представить таким выражением:
1 – 1/ R0
Это означает, что если бы существовала угроза эпидемии смертельного гриппа с R0 = 3, то 1 – 1/3 = 2/3 населения нужно было бы вакцинировать для предотвращения эпидемии.
R0 для кори равно 12–18. Для простоты воспользуемся средним числом 15. Получим 1 – 1/15 = 14/15 или 93% населения должно быть привито, чтобы остановить распространение кори среди населения. Около 20% американцев ошибочно полагают, что вакцинация может вызвать аутизм, и по этой причине некоторые отказываются прививать своих детей. В США в 2015 году количество привитых в соответствии с графиком составляло 91,1% населения, но в некоторых регионах этот процент опускается до 81% для дошкольников, что делает эти регионы более уязвимыми для эпидемии кори.
