Постулаты Евклида или Какую геометрию мы изучаем в школе

В школе мы изучаем геометрию, основу которой заложили математики Древней Греции и эллинистического мира. Она называется евклидовой.

Современная Александрия унаследовала древнюю славу города, где достигли расцвета науки и искусства эллинистического мира

Началось с того, что Александр Македонский завоевал Египет и основал там новую столицу, которую назвал своим именем — Александрия. Это послужило началом эпохи эллинизма, в течение которой греческое влияние распространилось на огромную территорию.

После смерти Александра соратники разделили его империю. Царем Египта стал Птолемей I Сотер. Он основал в Александрии академию (Мусейон), где в течение многих веков собирались выдающиеся ученые. Одним из таких ученых был Евклид. Он жил около 300 г. до н. э. и является автором сочинения «Начала» — труда, который лег в основу науки геометрии. «Начала» состоят из 13 книг, где собраны все знания по геометрии, накопленные к тому времени учеными. Евклид сумел построить логичную систему, основанную на определениях, аксиомах и постулатах. Постулаты задают базовые построения, а аксиомы, принимаемые без доказательств, — общие правила вывода. Все утверждения евклидовой геометрии следуют из них чисто логическим путем.

В «Началах» Евклида были обобщены знания по геометрии, накопленные за столетия

Вот известные постулаты Евклида, данные в его «Началах»:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Надо сказать, что под ограниченной прямой Евклид понимал отрезок.

Часто вместо пятого постулата приводят эквивалентную ему аксиому параллельных: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающуюся с данной. Отсюда делается вывод, что параллельные прямые не пересекаются.

Постулаты Евклида в наглядном виде. Пятый постулат дается в двух формулировках (вторая следует из первой)

Над этими постулатами работали и работают ученые в течение многих веков. Особый интерес вызвал пятый постулат. Он сильно отличается от всех остальных, и потому его пытались доказать, подобно теореме. Это не удалось, но в результате были созданы новые, необычные геометрии.

Рассказывают, что однажды царь Птолемей спросил Евклида, можно ли овладеть геометрией более коротким и менее утомительным путем, чем при помощи изучения его «Начал». На что ученый ответил: «В геометрии нет царского пути».