Как часто случается в обычной жизни — чем проще, на первый взгляд, проблема, тем более сложное решение она имеет (а иногда даже и не имеет). Парадокс, но в математике часто происходит то же самое — простое, вроде бы, и понятное утверждение, которое, как кажется, и не нуждается в доказательстве — и так все очевидно — ставит в тупик даже самых искушенных ученых. В качестве примера можно привести знаменитую Проблему (Гипотезу) Гольдбаха, сильная форма которой остаётся нерешённой математической проблемой, тогда как слабая форма уже доказана.

Итак, немецкий математик Христиан Гольдбах в середине XVIII века изрек краткую и простую мысль о том, что любое четное число, которое больше 2, может быть представлено в виде суммы двух простых (делится только на себя и единицу) чисел. (Например, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 18 = 7 + 11 и т.д.) Не оставив без внимания и нечетные числа, Гольдбах также предположил, что любое нечетное число, которое больше или равно 9 (в некоторых похожих формулировках фигурируют цифры 5 и 7), может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. (Например, 13 = 7 + 3 + 3 и т.д.). Первое утверждение считается сильной проблемой Гольдбаха (иногда ее называют проблемой Гольдбаха в формулировке Эйлера, поскольку эта мысль была высказана в письме великому математику), а вторая — слабой проблемой Гольдбаха.

В XX веке были получены важные частичные результаты. Было доказано, что почти все чётные числа удовлетворяют сильной гипотезе Гольдбаха, а в 1973 году Чэнь Цзинжунь показал, что всякое достаточно большое чётное число представимо как сумма простого числа и числа, являющегося произведением не более чем двух простых. Кроме того, сильная гипотеза проверена вычислениями для всех чётных чисел до 4 × 10¹⁸, однако общего доказательства пока нет.

Слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что каждое нечётное число больше 5 представимо в виде суммы трёх нечётных простых чисел. Её доказал Харальд Хельфготт в 2013 году, завершив линию исследований Харди, Литлвуда и Виноградова.