Как часто случается в обычной жизни — чем проще, на первый взгляд, проблема, тем более сложное решение она имеет (а иногда даже и не имеет). Парадокс, но в математике часто происходит то же самое — простое, вроде бы, и понятное утверждение, которое, как кажется, и не нуждается в доказательстве — и так все очевидно — ставит в тупик даже самых искушенных ученых. В качестве примера можно привести знаменитую Проблему (Гипотезу) Гольдбаха, которая вот уже более двухсот лет является нерешенной математической проблемой.

Итак, немецкий математик Христиан Гольдбах в середине XYIII века изрек краткую и простую мысль о том, что любое четное число, которое больше 2, может быть представлено в виде суммы двух простых (делится только на себя и единицу) чисел. (Например, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 18 = 7 + 11 и т.д.) Не оставив без внимания и нечетные числа, Гольдбах также предположил, что любое нечетное число, которое больше или равно 9 (в некоторых похожих формулировках фигурируют цифры 5 и 7), может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. (Например, 13 = 7 + 3 + 3 и т.д.). Первое утверждение считается сильной проблемой Гольдбаха (иногда ее называют проблемой Гольдбаха в формулировке Эйлера, поскольку эта мысль была высказана в письме великому математику), а вторая — слабой проблемой Гольдбаха.

В 30-е года XX века математики Виноградов и Эстерманн, занимаясь сильной проблемой Гольдбаха, пришли к решению, что его утверждение верно: почти все четные числа могут быть суммой двух простых чисел. Особое внимание следует обратить на слово «почти». Оно означает, что ученые допускают существование четных чисел, которые невозможно представить в виде суммы двух простых, однако их количество предельно мало (стремится к нулю). В 70-е годы математики Х. Монтгомери и Р.Ч.Воган еще раз подтвердили предположение Гольдбаха, а китайский ученый Чэнь Цзинжунь, согласившись с коллегами, добавил также, что помимо суммы двух простых чисел четное число может быть представлено как сумма простого и полупростого (произведения двух простых чисел) чисел (например, 100 = 23 + 7 × 11). В данный момент считается, что гипотеза Гольдбаха верна для всех четных чисел, которые не являются больше 12 × 10 17.

Что касается слабой проблемы Гольдбаха, то она, несмотря на многочисленные попытки доказательства, до сих пор не получила подтверждения. Математики Харди и Литлвуд в 20-х годах XX века предпринимали попытки обосновать верность этой гипотезы для больших нечетных чисел, Виноградов также занимался поиском достаточно большого нечетного числа, однако это число не было названо (по некоторым данным, оно состоит из шести миллионов цифр). В конце XX века была доказана верность слабой проблемы Гольдбаха для чисел, которые являются выше 1020.