Совершенные числа
Совершенную красоту чисел впервые заметили пифагорейцы. Именно они были первооткрывателями совершенных натуральных чисел. С тех далеких времен совершенные числа представляют особый интерес для математических исследований.
Совершенное число — это число, равное сумме всех своих делителей, в том числе единица, но исключая само себя. Первое и наименьшее из совершенных чисел — 6. Совершенное число шесть равно сумме трех своих делителей 1, 2 и 3. Следующее совершенное число 28=1+2+4+7+14. Далее по мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — 496, четвёртое — 8128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056, седьмое — 137 438 691 328 (последовательность A000396 в OEIS).
С числами 6 и 28 исторически связывали различные символические и нумерологические толкования. Это культурные ассоциации, а не математические свойства совершенных чисел; например, синодический месяц длится примерно 29,5 суток, а не ровно 28.
Евклид доказал, что если 2p − 1 — простое число, то 2p−1(2p − 1) является чётным совершенным числом.
Спустя много веков Леонард Эйлер доказал обратное утверждение: каждое чётное совершенное число имеет именно форму 2p−1(2p − 1), где 2p − 1 — простое число. За все время изучения совершенных чисел не было найдено ни одного нечетного совершенного числа. В связи с этим ученые говорят лишь о существовании четных совершенных чисел. Однако это не исключает возможности их существования. Неизвестна также достоверность предположения о бесконечности множества всех совершенных чисел.
Кстати сказать, при более детальном рассмотрении формулы Евклида можно увидеть связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16,...
С помощью формулы Евклида—Эйлера можно получать различные свойства чётных совершенных чисел. Например, некоторые из них удобно представлять через суммы последовательных нечётных кубов; при записи таких тождеств важно различать доказанные общие свойства и отдельные числовые примеры. Не менее интересным свойством совершенных чисел является то, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2:
1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.
Интересно представление совершенных чисел в двоичной форме и многое другое. Следует отметить, что все чётные совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.
Кроме того, все четные совершенные числа являются треугольными числами, что означает, если взять совершенное число шаров, всегда можно сложить из них равносторонний треугольник. Также совершенные числа являются шестиугольными и могут быть представлены в виде n(2n−1).