Совершенные числа

Совершенную красоту чисел впервые заметили пифагорейцы. Именно они были первооткрывателями совершенных натуральных чисел. С тех далеких времен совершенные числа представляют особый интерес для математических исследований.

Совершенное число — это число, равное сумме всех своих делителей, в том числе единица, но исключая само себя. Первое и наименьшее из совершенных чисел — 6. Совершенное число шесть равно сумме трех своих делителей 1, 2 и 3. Следующее совершенное число 28=1+2+4+7+14. Далее по мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — 496, четвёртое — 8128, пятое — 2 096 128, шестое — 33 550 336, седьмое — 8 589 869 056 (согласно последовательности A000396 в OEIS).

Интересно узнать, что Мартин Гарднер в своей книге «Математические новеллы» впервые усмотрел в совершенстве чисел 6 и 28 особый смысл. Вспомните, ведь Бог сотворил мир за 6 дней. А Луна обновляется каждые 28 суток.

Первое крупное достижение в области теории совершенных чисел была теорема Евклида о том, что число 2n-1(2n-1) — четное и совершенное, в том случае, если число 2n-1 простое.

Спустя много веков, Леонардо Эйлер доказал справедливость теории Евклида. Таким образом, в формуле Евклида содержатся все четные совершенные числа. За все время изучения совершенных чисел не было найдено ни одного нечетного совершенного числа. В связи с этим ученые говорят лишь о существовании четных совершенных чисел. Однако это не исключает возможности их существования. Неизвестна также достоверность предположения о бесконечности множества всех совершенных чисел.

Кстати сказать, при более детальном рассмотрении формулы Евклида можно увидеть связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, ...

С помощью формулы Евклида можно доказать огромное количество свойств совершенных чисел. К примеру: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+... Не менее интересным свойством совершенных чисел является то, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2:

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.

Интересно представление совершенных чисел в двоичной форме и многое другое. Следует отметить, что все чётные совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

Кроме того, все четные совершенные числа являются треугольными числами , что означает, если взять совершенное число шаров, всегда можно сложить из них равносторонний треугольник. Также совершенные числа являются шестиугольными и могут быть представлены в виде n(2n−1).