Теория хаоса

Теория хаоса — математический раздел, занимающийся изучением поведения нелинейных детерминированных систем. Для таких систем характерна сильная чувствительность к изменениям начальных условий. Это свойство называется хаосом.

Первые элементы теории хаоса появились в конце 19 века в работах Анри Пуанкаре о движениях в Солнечной системе. Наибольшее развитие теория хаоса получила во второй половине 20 века в работах Эдварда Лоренца и Бенуа Мандельброта. Термин «хаос» был введен в 1975 году Дж. Йорке и Т. Ли.

В 1954 году российский математик А. Н. Колмогоров разработал метод касающийся проблемы устойчивости Солнечной системы. В дальнейшем этот метод был усовершенствован его учеником В. И. Арнольдом и немецким математиком Ю. Мозером. Эти работы положили начало теории хаоса, называемой КАМ (Колмогоров — Арнольд — Мозер), в которой вводятся понятия аттракторов и устойчивых орбит системы.

Эдвард Лоренц в 1961 году занимался изучением метеосистем. Он построил модель конвекции в атмосфере, состоящую из трех дифференциальных уравнений:

dx/dt = a(-x + y);
dy/dt = rx - y - xz;
dz/dt = -bz + xy.
В ходе эксперимента, Лоренц заметил некоторые особенности решения, возникающие примерно на середине счета. Поэтому он решил пересчитать полученные значения с этого момента, при этом, уменьшив число знаков после запятой (первоначально было 6 знаков, Лоренц уменьшил их число до 3). Ошибки, введенные таким образом, были не велики. Однако решение, которое сперва совпадало с первоначальным, со временем стало сильно отличаться, а потом перестало напоминать старое. Таким образом, Лоренц наблюдал существенную зависимость от начальных условий, т. е. хаос. В 1972 году им была опубликована статья «Предсказуемость: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?». Это название прекрасно иллюстрирует суть теории хаоса.

Благодаря работе Эдварда Лоренца стало известно, что уравнения поведения атмосферы, используемые при прогнозировании погоды, могут вести себя хаотически. Поэтому долгосрочные прогнозы подвержены «эффекту бабочки», т.е. невозможно предсказать погоду более чем на четыре или пять дней. Движение в Солнечной системе тоже хаотично, но для проявления непредсказуемости здесь требуются гораздо больше времени — десятки миллионов лет. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически вращается, изменяя направление оси собственного вращения. Теория хаоса объясняет это вращение как побочное действие приливных сил, создаваемых Сатурном Теория хаоса широко применяется в экономике для прогнозирования финансовых рынков и рынков ценных бумаг. Хаос имеет место и в биологических системах, в частности при описании моделей популяции или динамики эпидемий.

Еще одним примером проявлением хаоса является движение бильярдного шара. При ударе очень важно расположение кия относительно шара, необходимо рассчитать начальную силу и точность удара, а так же расположение шара, по которому наносится удар относительно других шаров. Все эти факторы очень сильно влияют на конечный результат. Малейшая неточность приводит к самым непредсказуемым результат — траектория движения может сильно измениться. Но даже если бильярдист правильно рассчитал все факторы после пяти-шести столкновений трудно предсказать дальнейшее движение шара.