Тригонометрия

«Измерение треугольника» так буквально переводится древнегреческое слово «тригонометрия». Точное математическое определение тригонометрии таково: это микрораздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Главной задачей тригонометрии является решение треугольников, а именно: вычисление неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин. К примеру, в тригонометрии решают задачи по определению величины углов треугольника на основе известных данных его сторон и прочее.

Область применения тригонометрии охватывает самые разные сферы математики, некоторые разделы естествознания и техники.

Тригонометрия имеет несколько разновидностей:

• Сферическая тригонометрия занимается изучением сферических треугольников.
• Прямолинейная или плоская тригонометрия изучает обычнее треугольники.

Зародилась тригонометрия более 3000 лет назад в Древнем Египте, также была известна в Древней Вавилонии и Индии.

Значительно развили тригонометрию древнегреческие и эллинистические ученые. Их учение базировалось на использовании «хорды». Хорда — это отрезок прямой, соединяющий какие-либо две точки кривой. Иначе говоря, хорда — это линия, которая стягивает дугу. Перпендикулярная к хорде биссектриса проходит через центр окружности и делит пополам угол. Половина хорды — это синус половинного угла, поэтому функцию синус называют также «половина хорды». Таким образом, все известные сегодня тригонометрические тождества и теоремы были открыты древнегреческими математиками.

Однако в работах Евклида и Архимеда тригонометрия представлена в геометрическом виде. Теоремы о длине хорд применяются в законах синусов. А теорема Архимеда для деления хорд соответствует формулам для синусов суммы и разности углов.

В настоящее время математики используют новую запись известных теорем, например, sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

Предположительно первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом Никейским, которого по праву считают «отцом тригонометрии». Ему принадлежит заслуга в создании сводной таблицы величин дуг и хорд для серии углов. Более того именно Гиппарх Никейский впервые стал использовать 360° окружности.

Клавдий Птолемей значительно развил и расширил учение Гиппарха. Теорема Птолемея гласит: сумма произведений противоположных сторон циклического четырехугольника равна произведению диагоналей. Следствием теоремы Птолемея стало понимание эквивалентности четырех формул суммы и разности для синуса и косинуса. Кроме того, Птолемей вывел формулу половинного угла. Все свои результаты Птолемей использовал при составлении тригонометрических таблиц. К сожалению, ни одной подлинной тригонометрической таблицы Гиппарха и Птолемея не сохранилось до наших дней.

Неинтересная на первый взгляд, тригонометрия играет огромную роль во многих отраслях науки. Тригонометрические вычисления нашли свое применение почти во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.

С помощью тригонометрии (техника триангуляции) можно измерять расстояния между звездами, между ориентирами в географии, производить контроль над системами навигации спутников.

Тригонометрия успешно применяется в технике навигации, теории музыки, акустике, оптике, при анализе финансовых рынков, электронике, теории вероятности, статистике, биологии и медицине, химии и теории чисел (криптографии), сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, топографии и геодезии, архитектуре и фонетике, машиностроении и компьютерной графики.