Воспитанник киргизской школы гандбола, Талант Дуйшебаев был капитаном сборной СНГ (Объединённой команды), ставшей чемпионом Олимпийских игр 1992 года, и сборной России — чемпиона мира-1993. После распада СССР Талант переехал игрывать в Испанию, в 1995-м принял гражданство этой страны.

С испанской сборной Дуйшебаев трижды приезжал на Олимпийские игры и завоевал две бронзовые медали — в в Атланте и Сиднее. Последняя Олимпиада в карьере Дуйшебаева — в Афинах-2004 — завершилась обидным поражением в от сборной Германии в четвертьфинальной битве с четырьмя овертаймами и серией пенальти. Трижды за тот самый отрезок времени команда Дуйшебаева становилась призёром чемпионатов Европы.

Основные вехи в клубной карьере Таланта Дуйшебаева связаны с командой «Тека» из Сантандера, с которой он дважды побеждал в чемпионате Испании и Кубке кубков, и с клубом из небольшого испанского города Сьюдад-Реаль, куда он пришёл в 2001 году. В сезоне-2003/04 тот самый клуб в первый раз в своей истории стал чемпионом Испании, сквозь год дошёл до финала Лиги чемпионов. Вскоре, в июне 2005 года, во дворце спорта «Дон Кихот» состоялся прощальный матч Дуйшебаева, объявившего о завершении карьеры игрока и переходе на тренерскую работу. В основополагающий же год своей работы в качестве тренера Дуйшебаев привёл «Сьюдад-Реаль» к победе в Лиге чемпионов.

В сезоне-2006/07 вследствие травмы основного разыгрывающего «Сьюдад-Реаля» словенца Уроша Зормана 38-летний Дуйшебаев был вынужден возвратиться на площадку. Великий гандболист скоро воссоздал игровые кондиции — в ноябре 2006-го его блестящая развлекуха способствовала победе клуба в Суперкубке Европы, а следом и в национальном чемпионате.

В сезоне-2007/08 Дуйшебаев сызнова сосредоточился на тренерской работе, приведя «Сьюдад-Реаль» ко второму триумфу в Лиге чемпионов.