Не все можно посчитать.

Счет хорош для групп объектов, таких как коровы, торты, кастрюли или боевые топоры. Но не все существует в дискретных единицах. Нам часто приходится не считать штуками, а измерять такие понятия и объекты, как время, жидкости или такие мелкие предметы, как песчинки или рис, которые крайне затруднительно пересчитывать.

Правители и линейки

Древнейшие известные нам единицы меры основаны на размерностях человеческого тела: длина шага, расстояние от кончиков пальцев до локтя или длина верхнего сустава большого пальца руки. Они достаточно хороши, пока вы не работаете с чем-то, требующим большой точности, и у вас нет необходимости комбинировать части, сделанные или измеренные разными людьми. Но только представьте себе попытку построить большую пирамиду, каждая сторона которой была просчитана шагами разных людей. Даже один и тот же человек может делать шаги разной длины. В этой ситуации быстро проясняется польза стандартизации.

Если рука одного человека — например, фараона или главного архитектора — станет мерилом локтя, ему это причинит много неудобств — быть все время под рукой в измерительных целях. И в любом случае, он не сможет быть в нескольких местах одновременно. Здесь пригодится эталон, наподобие линейки. Королевский локоть обычно был представлен деревянной рейкой, на ней была разметка, прямо как на современной линейке. Этот тип стандартизации, появившись 5000 лет назад, хорошо послужил: Великая пирамида Гизы построена на основании 440 локтей в квадрате, с точностью до 0,05%, или 115 мм на 230,5 м.

Единицы СИ

Метрическая и десятичная системы, которые лежат в основе Международной системы (СИ) единиц измерения, были утверждены во Франции в 1799 г. Сейчас единицами СИ пользуется большая часть мира.

Существует семь базовых единиц СИ, принятых на XI Генеральной конференции по мерам и весам в 1960 г.:

• ампер (А) — единица измерения электрического тока;
• килограмм (кг) — единица измерения массы;
• метр (м) — единица измерения длины;
• секунда (с) — единица измерения времени;
• кельвин (К) — единица измерения; термодинамической температуры (кельвин эквивалентен одному градусу Цельсия, но начальная точка находится на абсолютном нуле, что эквивалентно минус 273,15 градусов по Цельсию);
• кандела (кд) — единица измерения яркости света;
• моль (моль) — количество любого вещества, которое содержит то же количество элементарных частиц (таких как атомы, ионы или молекулы), как 12 г углерода-12. Оно равно постоянной Авогадро: 6,02014129(27) х 10²³ атомов/молекул.

Существует гораздо больше единиц СИ, которые определяются в терминах базовых единиц. Некоторые привычные нам единицы измерения, такие как час, литр и тонна, не являются единицами СИ.

Двадцать официально одобренных префиксов используются с единицами СИ:

На практике, мы измеряем время не в мегасекундах, а в месяцах и годах.

Насколько стандартен стандарт?

Инструменты для измерений должны калиброваться в соответствии с определенным стандартом, который, соответственно, должен быть абсолютно неизменен. Это звучит как само собой разумеющееся, но все не так просто. Деревянная линейка может уменьшиться и искривиться, так как дерево усыхает; даже стальная рейка расширится при нагревании и сожмется на холоде.

Сегодня только килограмм по-прежнему определяется через физический эталон, созданный человеком. Другие единицы СИ определяются через неизменные свойства Вселенной. Например, длительность секунды равна «9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133».

Итак, какова длина?

Единицы измерения, которые мы используем в повседневности чаще других, — это, вероятно, меры длины.

Большинство из нас обычно имеет дело с измерениями от нескольких миллиметров до сотен или даже тысяч километров, следовательно, мы используем миллиметры, сантиметры, метры и километры. Но это лишь небольшая часть всего ряда.

Определение метра

Первоначально метр был определен как 1/10 000 000 часть половины меридиана (который сам есть половина расстояния вокруг Земли от Северного до Южного полюса), как он был измерен в 1795 г. Метр был рассчитан с точностью до половины миллиметра. Он был представлен как эталон в Париже в виде платинового стержня, выполненного с точностью до одной сотой миллиметра. В 1960 г. метр был отнесен к нефизическим стандартам и сейчас определяется как расстояние, проходимое светом в вакууме за 1/299 792 458 секунды — это наводит на мысль, что, возможно, лучше переопределить длину метра как путь, проходимый светом за 1/300 000 000 секунды, но мы уже проделали такой долгий путь со старым метром.

Если длина веревки — это сантиметры, метры или даже километры, прекрасно, но если ее растянуть от нас до Нептуна, может, лучше измерить ее в а.е. — астрономических единицах (не СИ). Астрономическая единица — это среднее расстояние от центра Земли до центра Солнца, или 149 597 870 700 м.

За пределами Солнечной системы единицы измерения становятся еще больше. Астрономы используют единицы, которые были бы абсолютно бесполезны на Земле.

Световой год (св.г.) — это расстояние, которое свет проходит за год: 9 460 000 000 000 км. Световые годы не очень подходят для измерений внутри Солнечной системы. Лучше использовать световые минуты (расстояние, которое проходит свет за минуту) и световые часы. Земля находится в 499 световых секундах от Солнца; это означает, что свету нужно 8 минут и 19 секунд, чтобы достичь Земли. Если Солнце сейчас взорвется, у вас будет только восемь минут блаженного неведения, прежде чем вы узнаете об этом. Нептун находится в 30 а.е. или 4,1 светового часа от Солнца.

Астрономы вообще-то не любят световые годы — это единица звучит не очень научно. Они предпочитают использовать парсеки. Это наименование — сокращение от «параллакс одной угловой секунды». Парсек равен 3,26 световым годам или 206 265 астрономическим единицам.

Хотя мы не говорим — кило-а.е. или кило-световые годы, мы говорим — кило- и мегапарсеки. Мегапарсек — это миллион парсеков, или около 200 миллиардов расстояний от Земли до Солнца, а гигапарсек — это миллиард парсеков. Диаметр видимой части Вселенной равен, таким образом, 28 гигапарсекам. Маловероятно, что нам когда-либо понадобятся единицы измерения больше, чем гигапарсек. Моток веревки не будет настолько длинным.

А если она короткая?

Если кусок веревки суперкороткий, мы сможем измерить его в ангстремах (Å); 1 Å — это 10^–10 м, или одна миллиардная метра. Расстояние между центрами двух атомов углерода в алмазе около 1,5 Å.

Большая часть атома — это пустота. Хотя диаметр атома углерода, вероятно, равен 1,5 Å, диаметры протонов и нейронов в ядрах равны около 1,6 х 10^–15 м, или 1,6 фемтометров. Остальное пространство случайным образом «патрулируется» электронами. Известно, что диаметр электрона находится в диапазоне между 2 х 10^–15 м и 10^–16, но вообще-то это не совсем так, ибо считается также, что электрон не имеет четко выраженной пространственной протяженности, то есть не занимает места вообще. Если бы у вас была линейка с фемтометрами в качестве делений, вы бы смогли попробовать измерить ядро атома и электроны.

Короткая или суперкороткая

Отлично, но что если бы у вас была линейка длиной всего в одну тысячную фемтометра, аттометровая линейка, размеченная на зептометры (одна тысячная аттометра)? Что можно было бы измерить? Вы могли бы измерить крупные кварки (тип субатомных частиц), но верхние кварки меньше зептометра (10^–21 м), так что вам понадобится новая линейка, зептометровая, размеченная на иоктометры. (Если вы представите себе фемтометровую линейку длиной в километр, иоктометровая будет равняться одной миллионной миллиметра — а ведь фемтометр сам по себе меньше ядра атома).

Теперь мы можем измерить нейтрино (другой тип субатомной частицы), диаметр которого — всего один иоктометр (10^–24). И снова, эта частица на самом деле не занимает места в том смысле, как мы это представляем, это лишь радиус пространства, в котором действуют его силы. (Представьте способ, которым измеряется ширина урагана: нет никакого физического объекта урагана, обычно измеряется площадь, на которой он действует. А это супер-крошечный ураган.) Размер нейтрино равен одной миллиардной размера электрона, т. е. если нейтрино был бы размером с яблоко, электрон был бы величиной с Сатурн, или в десять раз больше Земли.

На конце шкалы

Нам не известны частицы меньше иоктометра — но существует меньшая единица измерения. Планковская длина считается самой маленькой единицей длины, которая может существовать. Хотя теоретически мы может продолжать придумывать все меньшие единицы, но они не будут иметь практического применения. При размерах меньше планковской длины, которая равна 10^–35 м, не применимы законы физики, таким образом, измерение само по себе становится невозможным. Единственная вещь, которая может быть измерена в планковских длинах — это квантовая пена и струны в царстве теоретической физики (если они, конечно, существуют). Если бы яблоко имело диаметр, равный одной планковской длине, электрон имел бы диаметр больше 10 световых лет, а атом углерода был бы больше видимой части Вселенной.

Струны и Вселенная

Теория в современной физике утверждает, что все — все субатомные частицы и, следовательно, все, построенное из них, — образовано тонкими вибрирующими струнами энергии. Эти струны очень и очень крошечные. Они измеряются планковскими длинами. Если бы один атом водорода был размером с видимую Вселенную, струна имела бы размер дерева. Вряд ли наша веревка будет длиной со струну.

Насколько ваш ответ верен

Вы не будете измерять кита в миллиметрах, а атом — в километрах.< У нас есть множество различных единиц измерения, так что мы можем выбрать, которая больше подходит в зависимости от того, что мы собираемся мерить.

Если единица измерения слишком велика для элемента, который вы измеряете, это приведет либо к неудобным десятичным дробям, либо к неточности. Предположим, высота собаки 69 см. Это подходящая единица измерения. Мы не говорим, что высота собаки 0,0069 км. Объем Тихого океана около 660 миллионов кубических км, но мы не покупаем молоко кубическими километрами. Для ориентира: если после или до интересующих вас (значимых) цифр много нулей, вероятно, вам следует выбрать другую единицу измерения.

Счет и вычисления

Счет — это просто: мы легко можем посчитать, сколько людей в комнате или сколько машин на парковке. Но сложно считать очень большие ли нестабильные количества, или нечетко обозначенные. Вы не сможете посчитать песчинки на пляже по трем причинам: их слишком много, их количество меняется из-за приливов и перемещений по пляжу, четкие границы пляжа отсутствуют. Где вы начнете и где закончите считать? И насколько глубоко вы закопаетесь, прежде чем перестанете называть это «пляжем»?

Чтобы найти число в этих обстоятельствах, мы можем прибегнуть к вычислениям или приблизительным оценкам. Если известно, что многоуровневая парковка заполнена, и в ней десять одинаковых по плану этажей, мы можем посчитать машины на одном этаже и умножить на десять, чтобы выяснить, сколько машин на парковке. Вероятно, ответ будет очень точным. Если на каждом этаже по 80 мест, на заполненной парковке может находиться 800 машин или, в редкие дни, 798 или 799, если одна или две машины неаккуратно припаркованы.

Вычисления и приблизительная оценка

Как насчет конфет в банке? Угадывание — обычное испытание на празднике или на ярмарке.

Проще всего, если конфеты одинакового размера и формы (предпочтительно сферы или кубы), а банка имеет одинаковую ширину по всей высоте. Количество конфет в банке будет близко к количеству конфет в одном слое, умноженному на количество слоев конфет сверху донизу. Не беспокойтесь о приведении к стандартным единицам измерения; конфета — лучшая единица в этом случае.

Для круглой банки посчитайте (или угадайте, если вы не хотите выглядеть, как зануда или жулик) количество конфет в столбце сверху донизу и количество конфет в ряду, который огибает банку (или полпути вокруг и удвойте). Затем используйте эту формулу, где h — это высота в конфетах, а с — окружность банки в конфетах:

(с/2)² х π х h = объем в конфетах

Сложнее провести качественные приблизительные подсчеты, если в банке смесь конфет разных размеров и форм (полидисперсные частицы на языке науки), или если банка довольно маленькая или необычной формы. Существуют способы вычислений, созданные учеными, разрабатывавшими методы для вычислений плотности заполнения пространства полидисперсными частицами, но это несколько выходит за пределы просто игры на празднике. Вы можете сделать честную оценку, посчитав несколько рядов и столбцов конфет, вычислить среднюю величину и использовать в формуле.

(Это игра, похоже, уже выходит из моды — сейчас каждый может воспользоваться приложением на смартфоне, чтобы вычислить количество конфет в банке.)

Выборка

Но конфеты хотя бы не выскакивают наружу, не забираются обратно и не бродят по банке. Они не прячутся от вас. А что, если вы захотите вычислить, сколько грачей живет в роще? Они прилетают и улетают, прячутся в своих гнездах, и их довольно много. Пожалуй, лучше всего будет выбрать для наблюдения несколько деревьев и провести экстраполяцию, умножив приблизительно подсчитанное количество грачей на приблизительно подсчитанное количество деревьев.

Метод выборки используют в опросах, чтобы предсказать результаты голосования или прикинуть такие цифры, как потребление алкоголя или расстояние, которое люди тратят на дорогу до работы. Чтобы получить результат, который можно считать надежным и статистически полезным, приблизительные подсчеты на базе выборки должны опираться на репрезентативную выборку подходящего размера. Если вы хотите прикинуть количество вегетарианцев в Канаде, вы не получите надежного результата, если в вашей выборке 15 человек из дома престарелых или если в ней 100 девушек из университетского общежития.

Найдите нужных людей

Чтобы быть репрезентативной, выборка должна быть достаточно большой и разнообразной, чтобы отражать состав населения. Так, чтобы представить население Канады, исследование должно включать мужчин и женщин всех возрастов, этнических, социальных и экономических групп примерно в тех же пропорциях, в которых они представлены во всей Канаде целиком. Это называется демографический состав.

Выяснить подходящий размер выборки — это техническая процедура, о которой вам придется узнать, если вы действительно собираетесь проводить исследование самостоятельно. Если вы просто читаете о результатах исследования в газете, обратите внимание на размер выборки и демографический состав, чтобы составить первичное мнение о надежности результатов. В целом, чем больше людей попало в выборку, тем больше можно доверять результатам, но только если исследователи позаботились сделать выборку репрезентативной.

В таблице на соседней странице в общих чертах показано, насколько можно доверять результатам, исходя из размеров выборки и численности населения. Например, если численность населения больше миллиона (как в Канаде), чтобы получить результат с пределом погрешности всего 1% (т. е., ±1% точности в ответе), вам понадобится опросить 9513 человек. Тогда вы можете быть уверены в результате на 99%. И снова, использование репрезентативной выборки является решающим фактором. Если вы хотите узнать о диетических пристрастиях населения Канады, выборка из индусов (преимущественно вегетарианцев) или лесорубов (преимущественно мясоедов) не даст надежного ответа.

Значимые цифры

Маркером топорности в процессе обработки или изложения статистических данных является ложный уровень точности, который проявляется в предоставлении более значимых цифр, чем это возможно. Значимые цифры — это цифры, которые имеют значение, демонстрируют подлинные детали в числах — в них нет нулей, которые просто заполняют место. Число 103,75 имеет пять значимых цифр, самая значимая из которых — 1, так как она показывает, что это число — 100 с чем-то. Число 121 000 имеет только три значимых цифры — если только это действительно не ровно 121 000.

Мы обозначаем границы значимых цифр, когда округляем к большему или меньшему. Если результат вычислений не должен быть очень точным, логично будет округлить его до числа, которое будет приблизительно верным. Предположим, вы считаете песчинки чайной ложкой, и вычислили, что в контейнере 445 341 909 песчинок. Это число точное, но не похоже, что оно соответствует действительности. Будет логичнее округлить число до 450 000 000 или до 400 000 000, так как вы не можете быть точны в пределах 50 000 в вычислениях такого рода. Численность населения планеты, которую невозможно подсчитать точно и которая постоянно изменяется, обычно округляют до 7 миллиардов. Последняя оценка (в 2015) — 7 324 782 000. Более точные цифры будут лишь указывать на то, что мы претендуем на знание, которое невозможно.

Иногда вычисления дают результат с большим количеством значимых цифр, чем стоит показывать. Предположим, вы хотели узнать площадь круглого ковра с диаметром 120 см. Уравнение для площади круга — πr² , а поскольку радиус круга — 60 см, площадь равна 11 309,7336 см². В большинстве случаев будет достаточно сказать о 11 300 см² . В любом случае, не следует включать цифры после десятичного разделителя, так как радиус ковра не был измерен с этим уровнем точности. Их включение предполагает больший уровень точности, чем на самом деле был достигнут.