Виды доказательств

Доказательства — это кирпичи, из которых строятся философские теории; логика — цемент, скрепляющий эти кирпичи. Хорошая идея ничего не стоит, если ее невозможно доказать, — она должна быть рационально обоснована, а этого не добиться без прочного и надежного логического фундамента. Четко сформулированные аргументы открыты для критики и оценки; именно реакция на доказательства, процесс их пересмотра и уточнения способствуют развитию философии.

Доказательство — это рациональный логический переход от принятой точки зрения (предпосылки) к тому пункту, где ее следует обосновать или подтвердить (вывод). Предпосылки — это некоторые основные положения, которые должны быть приняты, хотя бы условно и временно, чтобы доказательство могло быть сформулировано. Предпосылки могут быть установлены несколькими способами: логически, эмпирически (на основе наблюдений) или могут быть следствием уже доказанных положений, но в любом случае они не должны повторять вывод. Переход от предпосылки к выводам осуществляется с помощью умозаключений, точность которых определяет надежность доказательства в целом. Отличать надежные, рациональные умозаключения от ненадежных — основная задача логики.

Роль логики

Логика — наука об анализе доказательств, аргументов и установлении принципов, на основании которых могут быть сделаны надежные умозаключения. В сущности, предметом логики является не содержание аргумента, но его структура и форма.

Так, цепочка рассуждений «все птицы покрыты перьями; малиновка — птица; следовательно, малиновка покрыта перьями» с точки зрения логики представляет собой формулу «все П есть О, М есть П, следовательно, М есть О», в которой все конкретные признаки заменены символами, а убедительность доказательства оценивается независимо от содержания проблемы. В прошлом изучение логики сводилось главным образом к простым заключениям именно такого рода (силлогизмам), но с начала ХХ века логика превратилась в тонкий и сложный аналитический инструмент.

Дедукция

Приведенный выше пример («Все птицы покрыты перьями...») — доказательство дедуктивное. Заключение выводится из предпосылки, и доказательство считается «обоснованным». Если предпосылки обоснованного вывода верны, то и заключение обязательно будет верным, такое доказательство считается «надежным». Вывод дедуктивного доказательства скрыт в его предпосылках; иными словами, вывод «не выходит за пределы» предпосылки и не добавляет к ней ничего нового. Невозможно, таким образом, принять предпосылки и одновременно отвергать вывод, не вступая во внутреннее противоречие.

«— И задом наперед, совсем наоборот, — подхватил Траляля. — Если бы это было так, это бы еще ничего, а если бы ничего, оно бы так и было, но так как это не так, так оно и не этак! Такова логика вещей!» Льюис Кэрролл, 1871

Индукция

Другой основной метод доказательства — индукция. В типичном индуктивном аргументе основной закон или принцип следует из определенных наблюдений за внешним миром. Например, множество наблюдений показывает, что млекопитающие рожают детенышей, и индуктивно можно заключить, что все млекопитающие размножаются именно так. Подобное доказательство не может быть стопроцентно обоснованным и надежным (в отличие от дедуктивного), его заключение не обязательно следует из предпосылки; иными словами, возможна ситуация, когда посылка верна, а заключение — ложно (как в приведенном примере, в котором вывод опровергается существованием яйцекладущих млекопитающих — ехидны и утконоса). Индуктивное доказательство всегда выходит за рамки предпосылки, которая не влечет за собой обязательную истинность заключения, но предполагает его возможность.

Индуктивные доказательства — это обобщения и всевозможные экстраполяции от частного к общему; от наблюдаемого к ненаблюдаемому; от прошлого и настоящего — к будущему. Индуктивные рассуждения вездесущи и незаменимы. Без них невозможна была бы наша повседневная жизнь, мы не можем существовать без предсказаний, основанных на наблюдениях. Многие законы и принципы науки являются примерами индукции. Но допустимо ли это? Шотландский философ Дэвид Юм давал отрицательный ответ, считая, что индукция не имеет рационального обоснования. Индуктивное мышление, с его точки зрения, подразумевает веру в «единообразие природы», в соответствии с которым будущее будет напоминать прошлое при соблюдении относительно одинаковых условий. Но что может стать основанием для подобного вывода, кроме самой индукции?

Даже если предполагаемую однородность природы можно доказать только таким образом, это не может служить оправданием индукции, иначе получается замкнутый круг. Были попытки оправдать индукцию ее предыдущими успехами — она работает на практике, как ни крути. Но предположение о том, что она будет работать и в будущем, по сути своей индуктивно, — опять получается замкнутый круг. С точки зрения Юма, мы не можем мыслить не индуктивно (он этого и не предлагает), но он настаивает, что наше мышление индуктивно в силу привычки и удобства, рационально оно не обосновано. Так называемая «проблема индукции», сформулированная Юмом, по сей день остается предметом дискуссий, особенно в части естественных наук.

Аристотелевская и математическая логика

До конца XIX века логика как наука следовала с небольшими отклонениями путем, проложенным Аристотелем более 2000 лет назад. Моделью правильного мышления считался силлогизм — умозаключение, основанное на трех суждениях (две посылки и вывод), самый знаменитый из которых: «Все люди смертны; греки — люди; следовательно, греки смертны». Силлогизмы были классифицированы по форме таким образом, чтобы можно было отличить надежные от ненадежных. Ограничения традиционной логики были продемонстрированы работами немецкого математика Готлоба Фреге, который предложил новые элементы рассуждений, такие как переменные и кванторы, которые существенно расширили сферу действия современной «математической» логики (в отличие от традиционной логики она способна представить математические доказательства).

Парадокс или обман?

«Пленный будет повешен на рассвете, не позже следующей субботы, и он не должен узнать заранее, в какой день приговор приведут в исполнение». Жутко звучит, но у хитроумного пленника есть способ потренироваться в логике. «В субботу меня не повесят, потому что тогда я буду знать заранее, ведь в пятницу еще буду жив. Значит, меня повесят в пятницу. Но и это невозможно, потому что, если я доживу до четверга, значит, мне станет известен день повешения»... и так далее. Так он отсчитывает дни в обратном порядке до настоящего момента и с облегчением понимает, что казни не будет. Конечно, когда в следующий вторник его все-таки вешают, для него это оказывается неприятным сюрпризом.

Парадокс или обман? Вероятно, и то и другое. История (известная как парадокс предсказания) парадоксальна, поскольку логичные рассуждения приводят к совершенно неверному заключению. Парадоксы обычно содержат откровенно логичные аргументы, которые приводят к противоречивым или неприемлемым заключениям. Иногда вывод оказывается неизбежен, и тогда приходится переосмысливать предпосылки; или же ошибка может оказаться в самих рассуждениях. В любом случае парадоксы заслуживают внимания, поскольку демонстрируют слабые места в нашей системе рассуждений.

Многие известные парадоксы (некоторые из них мы рассмотрим далее) на удивление устойчивы и до сих пор не поддаются разрешению, несмотря на все усилия философов.