Алгебраические фракталы
Пример фрактала
Фрактал, с математической точки зрения, это, прежде всего, множество с дробной, промежуточной, «не целой» размерностью. Алгебраические фракталы названы так потому, что их генерируют с помощью алгебраических форму, иногда совсем несложных.
Алгебраические фракталы получают с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. На сегодняшний момент наиболее изученными являются двухмерные процессы. Как известно, нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние или аттрактор обладает определенной областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Из этого следует, что фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Таким образом, если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы. Изменение алгоритма выбора цвета, позволяет получать сложные фрактальные узоры с невероятными многоцветными узорами. Самой большой неожиданностью для математиков стало открытие возможности с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.
Существует много методов получения алгебраических фракталов. Классическим примером алгебраического фрактала является множество Мандельброта. Алгоритм его построение весьма прост. В его основе лежит простое многократное выражение:
Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C,где Zi и C — комплексные переменные. Многократный расчет функции выполняют для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области до тех пор, пока не будет выполнено определенное условие:
- Z[i] стремится к бeсконечности;
- Стремится к нулю.
- Приняв несколько фиксированных значений, не выходит за их пределы.
- Хаотичное поведение.
Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа
Множеству Мандельброта принадлежат только те точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (эти точки окрашиваются в черный цвет).
Не менее популярным является метод построение фракталов, основанный на комплексной динамике. В результате образуются биоморфы, фракталы напоминающие живые организмы.