Дружественные числа
Дружественные числа?! Шутка исследователей? Что за странное название для математического термина? На самом деле, это название дано не с проста.
Дружественные числа — это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и, в свою очередь, сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. Всегда, когда говорят о дружественных числах, то имеют в виду пары числе. Таким образом, эти числа связаны отношениями сходства и поэтому были названы дружественными.
Впервые дружественные числа упоминаются в работах Пифагора, посвященных теории чисел. Следует отметить, что пифагорейцам была известна лишь одна пара дружественных чисел 220 и 284. Долгое время эта пара чисел была единственным представителем класса дружественных чисел.
В XVIII веке Леонард Эйлер нашёл десятки новых пар дружественных чисел. К примеру одна из них, 17296 и 18416.
Однако, до сих пор общий способ нахождения пар дружественных чисел не был найден.
В 850 году нашей эры арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу, с помощью которой можно определить 3 пары дружественных чисел. Формула Сабит ибн Курра выглядит следующим образом:
Если:
p = 3 × 2n-1 - 1,q = 3 × 2n - 1,
r = 9 × 22n-1 - 1,
, где n > 1 — натуральное число, а p, q, r — простые числа, то:
2npq и 2nr — пара дружественных чисел.
Эта формула даёт, например, пары 220 и 284, 17296 и 18416, а также 9363584 и 9437056 при подходящих значениях n. Однако она порождает далеко не все дружественные пары.
Кстати сказать, что многие дружественные числа, например 6232 и 6368, не могут быть получены по этой формуле.
Компьютерные поиски обнаружили уже многие миллионы дружественных пар, и их число продолжает расти. При этом остаются открытые вопросы: неизвестно, существует ли дружественная пара, в которой одно число чётное, а другое нечётное, и существует ли пара взаимно простых дружественных чисел. Для взаимно простой пары, если она существует, известны очень сильные нижние ограничения; в частности, произведение её членов должно превышать 1067.
Для наглядности приведем все пары дружественных чисел, значение которых меньше 100 000:
- Пара 220 и 284 открыта Пифагором, около 500 до н. э.
- Пара 1184 и 1210 открыта Паганини в 1860 году.
- Пара 2620 и 2924 открыта Эйлером в 1747 году.
- Пара 5020 и 5564 (Эйлер, 1747г.)
- Пара 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
- Пара 10744 и 10856 (Эйлер, 1747)
- Пара 12285 и 14595 открыта Брауном в 1939 году
- Пара 17296 и 18416 открыта Аль-Банном, около 1300, Фариси, около 1300 и Пьером Ферма в 1636.
- Пара 63020 и 76084 (Эйлер, 1747)
- Пара 66928 и 66992 (Эйлер, 1750)
- Пара 67095 и 71145 (Эйлер, 1747)
- Пара 69615 и 87633 (Эйлер, 1747)
- Пара 79750 и 88730 открыта Рольфом (Rolf) в 1964 году.