Дружественные числа

Дружественные числа?! Шутка исследователей? Что за странное название для математического термина? На самом деле, это название дано не с проста.

Дружественные числа — это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и, в свою очередь, сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. Всегда, когда говорят о дружественных числах, то имеют в виду пары числе. Таким образом, эти числа связаны отношениями сходства и поэтому были названы дружественными.

Впервые дружественные числа упоминаются в работах Пифагора, посвященных теории чисел. Следует отметить, что пифагорейцам была известна лишь одна пара дружественных чисел 220 и 284. Долгое время эта пара чисел была единственным представителем класса дружественных чисел.

В восемнадцатом веке Леонардо Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. К примеру одна из них, 17296 и 18416.

Однако, до сих пор общий способ нахождения пар дружественных чисел не был найден.

В 850 году нашей эры арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу, с помощью которой можно определить 3 пары дружественных чисел. Формула Сабит ибн Курра выглядит следующим образом:

Если:

, где n > 1 — натуральное число, а p,q,r — простые числа, то:

2ⁿpq и 2ⁿr — пара дружественных чисел.

Благодаря этой формуле были найдены пары дружественных чисел 220 и 284, 17296 и 18416 и 9363584 и 9437056 соответственно для n=2,4,7. Но для n < 20000 больше никаких пар дружественных чисел нет.

Согласно официальным данным, на ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественых чисел, которые состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. О том существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел науке до сих пор неизвестно. Кроме того, по-прежнему невыясненным остается предположение о существовании взаимно простых дружественных числа. В том случае, если такая пара дружественных чисел все же существует, то их произведение должно быть больше 1067.

Для наглядности приведем все пары дружественных чисел, значение которых меньше 100 000:

• Пара 220 и 284 открыта Пифагором, около 500 до н. э.
• Пара 1184 и 1210 открыта Паганини в 1860 году.
• Пара 2620 и 2924 открыта Эйлером в 1747 году.
• Пара 5020 и 5564 (Эйлер, 1747г.)
• Пара 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
• Пара 10744 и 10856 (Эйлер, 1747)
• Пара 12285 и 14595 открыта Брауном в 1939 году
• Пара 17296 и 18416 открыта Аль-Банном, около 1300, Фариси, около 1300 и Пьером Ферма в 1636.
• Пара 63020 и 76084 (Эйлер, 1747)
• Пара 66928 и 66992 (Эйлер, 1750)
• Пара 67095 и 71145 (Эйлер, 1747)
• Пара 69615 и 87633 (Эйлер, 1747)
• Пара 79750 и 88730 открыта Рольфом (Rolf) в 1964 году.