Евклид

Арифметика, музыка, астрономия и геометрия уже со времен пифагорейцев считались математическими науками и являлись образцами систематического и логического мышления. Таким образом, занятие этими науками было первым этапом на пути к изучению философии и познанию окружающей дествительности. Одной из важнейших областей знания среди перечисленных наук была геометрия.

---

Евклид

Первым учебником, в котором собраны и систематизированы достижения в области геометрии и алгебры всех предшествующих эпох, был грандиозный труд древнегреческого математика Евклида «Начала». Значение этого научного произведения невозможно недооценить. Евклид сумел собрать в «Началах» основные проблемные вопросы по планиметрии и стереометрии, теории чисел и алгебре, общей теории отношений и методов определения площадей и объемов и многое-многое другое. «Начала» по праву называют фундаментальным трудом древнегреческого мыслителя. Первая попытка логического построения геометрии на основе аксиоматики было очень и очень удачным, хотя в некоторых положениях «Начала» Евклида содержатся не полные данные, видимо, автор здесь обращается к собственной интуиции.

Главное научное сочинение Евклида на протяжении более двух тысяч лет являлись базовым учебником геометрии. В течении всей истории существования «Начала» Евклида усовершенствовались более поздними добавлениями. Достоверно известно, что с 1482г. «Начала» Евклида выдержали более 500 переизданий на всех языках мира.

Сведя воедино и обработав все прежде созданное до него, Евклид создал учебник, включающий в себя тринадцать книг.

В первых четырех книгах речь идет о геометрии на плоскости и основных свойствах прямолинейных фигур и окружностей.

В книге I даны определения основных понятий. Однако эти определения весьма поверхностных, к примеру: «Точка есть то, что не имеет частей». «Линия же — длина без ширины». «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней». «Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину» и т.д. После определений следуют пять главных постулатов геометрии:

• Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;
• Допустим, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;
• Допустим, что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;
• Допустим, что все прямые углы равны между собой;
• Допустим, если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.«В первых трех постулатах допускается существование прямой и окружности. Последний, пятый постулат, является самым известным. Так называемый постулат о параллельных прямых на протяжении многих веков вызывал противоположные мнения в обществе математиков, многие не считали его реальным и отказывали ему в праве на существование.

Далее в первой книге, после формулировок постулатов следуют универсальные аксиомы применимые ко всем наукам. Затем Евклид доказывает элементарные свойства треугольников, например, условия равенства. Также Евклид описывает основные геометрические построения, к примеру, построение биссектрисы угла, середины отрезка и перпендикуляра к прямой и др.

---

Ватиканский манускрипт, т.1, 38v - 39r. Euclid I prop. 47 (теорема Пифагора)

Во второй книге «Начала» изложены положения геометрической алгебры, созданной пифогарейцами. Третья книга посвящена геометрии окружности. В книге 4 исследуются правильнее многоугольники, вписанные в окружность или описанные вокруг нее. В 5 книге рассмотрена проблема соизмеримости величин. Здесь Евклид размещает понятие «величины» длины, площади, объема, веса и пр.

В книге 6 Евклид применяет теорию пропорций, разработанную в предыдущей книге, относительно прямолинейных подобных фигур.

Следующие три книги 7,8,9 полностью посвящены теории чисел. В книге седьмой Евклид определяет равенство отношений целых чисел, то есть он выстраивает теорию рациональных чисел. Его доказательство от противного является образцом логически выстроенного утверждения, которое до сих пор используется в учебниках по алгебре и геометрии. К примеру, «первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел».

В 10 книге содержится классификация геометрических прямых и треугольников. Здесь же Евклид доказывает справедливость геометрических преобразований.

Одиннадцатая книга «Начал» посвящена стреометрии, а двенадцатая книга содержит сравнительную характеристику площадей криволинейных фигур и многоугольников. В книге 13 Евклид занимается построением правильных многогранников.

Сохранившиеся рукописи тринадцати книг были добавлены еще двумя. Четырнадцатая книга была написана александрийцем Гипсиклом (ок.200 г. до нашей эры), а пятнадцатая вышла в свет в начале VI века нашей эры и принадлежа она Исидору Милетскому, строителя знаменитого храма св. Софии в Константинополе.

Евклидова геометрия представляет собой систему знаний, последовательно выведенных одно из другого по цепочке, при этом автор опирается на небольшой набор общих понятий — аксиом. Из всех восемнадцати определений данных в тринадцати книгагх Евклид с особым изяществом вывел двадцать теорем, которые обозначили свойства величин и их отношеия. Таким образом, «Начала» Евклида есть фундамент для последующих геометрических изысканий. В усовершенствовании и развитии науки Нового времени евклидова геометрия сыграла наиважнейшую роль. «Начала» до сих пор являют собой образец математического изложения.