Как наиболее компактно разложить шары?

Это самый компактный способ укладки апельсинов

Окончательный ответ на этот вопрос нашел американский математик Том Хейлс из университета Энн Арбор (штат Мичиган): шары нельзя сложить плотнее, чем это делали солдаты с ядрами сотни лет назад. В наши дни по этому же принципу продавцы укладывают апельсины: к двум лежащим рядом апельсинам укладывается третий так, что он касается обоих других. Каждый следующий фрукт нижнего слоя можно положить лишь так, чтобы он касался двух уже лежащих. Когда покрыта вся поверхность стола, переходят к следующему слою, который выглядит точно так же, как первый. При этом апельсины сами скользят в нужное место, а именно — в ямки, образованные нижним рядом. Так заполняется слой за слоем. Плотность такой упаковки равна π/(3√2) ≈ 0,74048, то есть шары занимают около 74% объёма, а не ровно три четверти. О том, что плотнее их уложить нельзя, говорил еще в 1609 г. астроном Иоганн Кеплер. Но доказать это оказалось непросто. Вопрос оставался открытым 389 лет, дольше, чем знаменитая теорема Ферма. Хотя некоторые математики утверждали, что решили эту задачу, их коллеги каждый раз находили изъяны в доказательствах. Томас Хейлс объявил доказательство гипотезы Кеплера в 1998 году; после длительной экспертной проверки оно было опубликовано, а в 2014 году проект Flyspeck завершил формальную компьютерную проверку доказательства.