Как появились числа?
Способность понимать числа зародилась на заре развития человеческого общества.
Мы настолько привыкли к числам, что редко подвергаем их переосмыслению. Дети учатся считать в очень раннем возрасте, числа и цвета — это первые абстрактные идеи, с которыми они сталкиваются.
Посчитай-ка!
Вначале общение человечества с привычными нам числами имело форму примитивного счета. Наши далекие предки вели счет своим стадам, делая зарубку на палке, камне или кости за каждое животное, или перекладывая гальку или ракушки из одной кучи в другую.
Такой счет не нуждается в числах. Это простая система соответствия, использующая один объект или знак, чтобы представлять другой объект или явление. Если у вас есть ракушки, каждая из которых обозначает овцу, и вы бросаете ракушку в горшок за каждую овцу, заходящую в стойло, легко обнаружить пропажу, если под конец не все ракушки оказались в горшке. Вам не нужно знать, 58 у вас овец или 79, вы просто ищете пропавших овец и бросаете ракушку, когда находите, по одной за каждую, до тех пор, пока не кончатся ракушки.
Мы по-прежнему пользуемся такой системой, когда ведем счет в играх, если хотим сохранить счет времени после кораблекрушения и в других обстоятельствах, где числа понадобятся только в конце процесса.
1:0 в пользу чисел
Примитивный счет использовался в различных культурах каменного века по меньшей мере 40 000 лет. А затем в какой-то момент стало удобней иметь числа с названиями.
Нам не известно, когда именно это произошло, но не сложно заметить, что раз уж люди стали держать животных, стало удобнее иметь возможность сказать «не хватает трех овец», чем «не хватает сколько-то овец». Если у вас трое детей и вы хотите, чтобы у каждого было копье, проще знать, что вам придется сделать три копья, и для начала найти три прочные палки, чем сделать одно копье, отдать его первому ребенку, понять, что остались еще дети без копий, сделать еще одно, и так далее. Ну а когда люди стали заниматься торговлей, числа, должно быть, стали просто необходимостью.
Древнейшие знаки, изображающие числа, были обнаружены на Ближнем Востоке в предгорьях Загроса на территории современного Ирана и относятся к 10 000 г. до н. э. Сохранились глиняные фишки, использовавшиеся для подсчета овец. Символом одной овцы был шарик глины со знаком +, нацарапанном на нем. Очевидно, что лучше быть обладателем нескольких овец, но необходимость в 100 шариках для 100 овец довольна обременительна. Были придуманы фишки с другими символами, чтобы обозначать 10 и 100 овец, что дало возможность посчитать любое число овец гораздо меньшим количеством шариков — даже 999 овец можно было представить всего 27 фишками (9 100-значных; 9 10-значных; 9 1-значных). Шарики можно было нанизать на веревку, или, как часто делали, поместить в полые глиняные шары. Внешняя поверхность шара-«упаковки» была покрыта символами, означающими число «овец» внутри, но их можно было и разбить, чтобы проверить данные, если возникал спор. Цифры на внешней поверхности шаров — древнейшая из сохранившихся знаковых числовых систем.
Изобретение чисел
Многие ранние системы счисления развивались непосредственно из примитивного счета и, соответственно, использовали повторяющийся символ для единиц, отличный от них символ для десятков и еще один — для сотен. У некоторых был символ для 5 или других промежуточных чисел.
Система римских цифр, знакомая нам по циферблату часов, начиналась с вертикальных черт, присущих примитивным системам. Числа 1–4 вначале записывались как I, II, III, IIII. Символ X использовался для 10, а С — для 100. Промежуточные V (5), L (50) и D (500) сделали большие числа чуть короче в написании. Через некоторое время возникла договоренность помещать I перед V и X, чтобы обозначить вычитание; так, IV — это 5–1, или 4. IV короче в написании и легче в прочтении чем IIII. Та же операция могла быть проделана для десятки: так, IX — это 9, но нельзя написать IC для 99 — нужно писать XCIX (или 100–10 и 10–1).
Ограниченные цифрами
Использование повторяющихся символов для обозначения единиц, десятков и сотен было обременительно в написании и усложняло арифметику. В такой системе, как римская, из-за символа, вычитающего единицу из числа, которому предшествует, сумму нельзя было вычислить даже путем простого пересчета каждого типа символов: XCIV + XXIX (94 +29) даст такой же результат, как CXVI + XXXI (116 +31), если мы просто пересчитаем все C, X, V и I. Эта система имела очевидные ограничения, в результате математика в Древнем Риме не обладала достаточной гибкостью.
Все дроби основывались на 12 в качестве знаменателя, не было десятичных дробей. Можете себе представить работу со сложными понятиями наподобие степеней или квадратных уравнений с использованием римских цифр и без числа ноль?
IVIII = LXIV
XIIxIII + IVx — IX = I — I
Неудивительно, что в римской математике не было особого прогресса.
Вес разряда
Индо-арабская система счисления, которой мы пользуемся и сейчас, имеет только 9 цифр, но их можно повторно использовать до бесконечности. Она медленно развивалась в Индии начиная с III в. до н. э., потом была усовершенствована арабскими математиками, прежде чем была принята в Европе. В этот системе статус числа определяется его позицией, она называется «разряд». Вес разряда увеличивается, продвигаясь налево. Это гораздо более гибкая система, чем римская.
Мы можем записать такое число, как 5691, соединив:
5000 (5 х 1000)
600 (6 х 100)
90 (9 х 10)
1 (1 х 1)
Используя вес разряда, можно представить любое большое число небольшим количеством цифр. Сравните запись чисел в римской и арабской системах счисления:
88 = LXXXVIII
797 = DCCXCVII
3839 = MMMDCCCXXXIX
Ничто — рождение нуля
Вес разряда — это очень хорошо, пока на каждой позиции есть цифра. А если там пропуск — ничего в колонке десятков (308, например) — как мы должны это показать? Пробел (так делали в Китае) допускает неясность в толковании, если только цифры не разделены на колонки линиями: 9 2 может означать 902, а может и 9002, а это большая разница.
Пробел означал пустую колонку и в Индии, но позже был заменен на точку или маленький кружок.
Этому знаку было дано санскритское название «сунья», означавшее пустоту. Когда арабы приняли индийские числа, около 800 г. н. э., они переняли и знак пустого места, также называя его «ничто», что на арабском звучало как «сифр». От него произошло слово «зеро», которым обозначается ноль в большинстве европейских языков.
Индо-арабские цифры впервые появились в Европе около X в., но прошло несколько столетий, прежде чем они были повсеместно приняты. Итальянский математик Леонардо Боначчи, больше известный как «Фибоначчи», призывал к их использованию уже в 1200-х гг., но купцы продолжали использовать римские цифры вплоть до XVI в.