Круглый треугольник Рело
Казалось бы, в этом опыте нет ничего удивительного: колесо (окружность) имеет такую форму, что ему ничего не стоит сохранять постоянную ширину. Однако существуют кривые, не являющиеся окружностями, и, тем не менее, также имеющие постоянную ширину — это треугольники. Однако не простые треугольники, а треугольники Рело, «автором» которых стал французский ученый, посвятивший свою жизнь изучению структуры и кинематики различных механизмов.
Парадоксально, но факт: треугольник — фигура, которая даже по своему звучанию не является «плавной» — кривая постоянной ширины.
Интересно, как же он будет вращаться между зафиксированными планками, постоянно касаясь их!
Для того чтобы проверить постоянную ширину треугольника Рело, построим равносторонний треугольник, на каждой стороне которого проведем дугу окружности с радиусом, соответствующем длине стороны. Наш треугольник словно бы вписался в своеобразную кривую, которая и называется круглым треугольником Рело. Проведя две касательные (параллельные планки) и закрепив их так, чтобы избежать смещения, приступаем к вращению треугольника Рело. Нетрудно убедиться, что удивительная фигура все время соприкасается с параллельными планками в двух точках: в «углу» треугольника и в точке, расположенной на противоположной дуге окружности. Следовательно, треугольник Рело — фигура постоянной ширины.
Воспользовавшись описанным выше алгоритмом построения треугольника, можно создать огромное количество кривых постоянной ширины на правильном многоугольнике, имеющем нечетное число углов. В качестве примера достаточно обратить внимание на британский двадцатипенсовик, который представляет собой замкнутую кривую, выполненную на семиугольнике.
А что можно сказать о несимметричных кривых, которые также входят в число кривых постоянной ширины? Попробуем провести похожий опыт: начертим несколько пересекающихся прямых и, выбрав один из секторов, проведем дугу окружности, центр которой будет располагаться в точке пересечения прямых выбранного сектора. Те же самые манипуляции проделаем и с сектором, расположенным рядом. Следует помнить, что радиус необходимо подбирать таким образом, чтобы непрерывно продолжать уже построенную часть кривой. «Обработав» таким образом все сектора нарисованных нами пересекающихся прямых, мы замкнем кривую и получим еще один наглядный образец кривой постоянной ширины.
Несмотря на существующее многообразие кривых постоянной ширины, лишь круг и треугольник Рело занимают в этом классе наиболее почетные места благодаря своим свойствам: окружность способна ограничивать наибольшую, а треугольник Рело — наименьшую площадь.
Если кто-то думает, что треугольник Рело — фигура хоть и удивительная, но абсолютно непрактичная, тот, увы, ошибается. Некоторые автомобили Mazda (RX-7, RX-8) снабжены роторным двигателем Ванкеля, в котором используется треугольник Рело. Благодаря особому устройству роторные двигатели, в отличие от поршневых, считаются наиболее предпочтительными и удобными. Существовавшие ранее кинопроекторы также использовали грейферные механизмы, основанные на треугольнике Рело. Применение грейферного механизма давало возможность получать четкое изображение и избегать рывков.