Лента Мёбиуса
Как и в любой науке, в математике существует своеобразный «золотой фонд», копилка, в которую веками заботливо складываются различные математические чудеса, странности и парадоксы, наиболее известным из которых, наверное, является знаменитая лента Мебиуса. Ее в 1858 году практически одновременно, не сговариваясь, придумали и воплотили в жизнь немецкие математики и астрономы Август Фердинанд Мебиус и Иоганн Бенедикт Листинг. Несмотря на двойное авторство, ленте было присвоено имя только одного из изобретателей, что автоматически оставило второго в тени.
Итак, взяв длинную полосу бумаги, математик, повернув один ее конец на 180 градусов (перекрутив один раз), склеил ее с другим концом, получив таким образом одностороннюю ленту (кстати, любому из нас под силу сотворить, вслед за Мебиусом эту диковину). Доказательство односторонности получить очень просто: достаточно провести по бумаге безотрывную карандашную линию, чтобы, вернувшись в исходное место, убедиться — вся лента целиком закрашена карандашом. Таким образом, «путешествие» из одной точки ленты в другую не потребовало от нас пересечения ее края. В зависимости от того, в какую сторону закручена лента, различаются правые и левые ленты Мебиуса.
Если продолжить эксперимент и разрезать ленту Мебиуса точно посередине, то, ожидая получить в результате две ленты, мы с удивлением обнаружим еще больше закрученную длинную двустороннюю «афганскую ленту», разрезав которую так же еще раз, получим две намотанные друг на друга ленты. Не останавливаясь на достигнутом, попробуем (предварительно склеив новую ленту Мебиуса) разрезать бумажную полосу, отступив от края треть ее ширины. У нас в руках останутся два «спаянных» колечка, одно из которых (тонкое) — классическая лента Мебиуса, а широкая — «афганская». Одним словом, чем больше полуоборотов в ленте Мебиуса, тем более причудливые и затейливые фигуры — парадромные кольца — получатся в результате.
Ближайшими «родственницами» ленты Мебиуса являются бутылка Клейна (о ней читайте в соответствующей статье этого раздела) и сфера с пленкой. Бутылка Клейна представляет собой объединение (склеивание) пары лент Мебиуса по краям (с обязательным самопересечением в трехмерном пространстве), а сфера с пленкой — это результат склеивания с совмещением границ диска с лентой Мебиуса.
Было бы ошибкой считать, что лента Мебиуса существует исключительно для развлечения: это не досужая безделушка, благодаря ей можно избежать лишних проблем. Ленточный конвейер, к примеру, будет работать дольше и эффективней, если выполнить его в виде ленты Мебиуса; при необходимости записывать данные на непрерывную пленку, стоит предпочесть форму ленты Мебиуса и т.д. Кроме того, эта удивительная лента стала основой для большого числа фантастических жутковатых историй о превращении, например, метрополитена в ленту Мебиуса, в результате чего поезда бесследно и надолго исчезали из нашего мира.