Математика Фибоначчи

На самом деле мир должен быть по колено в кроликах.

Средневековый математик Фибоначчи открыл, что существует последовательность чисел, которая лежит в основе множества явлений природы, включая размножение кроликов.

Размножение кроликов

Фибоначчи взялся за задачу, которая была известна индийским математикам уже много веков, но была, по всей видимости, нова для Европы. Она звучит так: Если у вас два кролика в поле, как будет расти популяция в идеальных условиях?

Идеальные условия включают следующее:

• Первые два кролика — разнополы, половозрелы, привлекательны друг для друга, здоровы и плодовиты.
• Каждая самка производит на свет пару кроликов, одного самца и одну самку, ежемесячно, как только повзрослеет.
• От зачатия до рождения кролика проходит месяц, и еще один месяц, чтобы стать половозрелым.
• Ни один из кроликов не умирает.

Последний пункт доводит идеальные условия до предела, но не будем углубляться в исследование природы «идеального». Все это происходило 800 лет назад и слишком поздно для придирок.

Так что отпустим первых двух кроликов в поле, где они будут плодиться как, эм-м, кролики. Через месяц там по-прежнему обитает только первая пара, но они только что обзавелись первыми малышами, следовательно, процесс запущен.

К концу следующего месяца имеется уже две пары: первая и их повзрослевшие детки. Первая пара завела еще двух деток, а вторая пара только начинает свою родительскую карьеру.

На следующий месяц будет три пары: первоначальная, первый выводок и второй выводок.

На следующий месяц первоначальная пара и первый выводок обзавелись по паре малышей (пока еще не половозрелых), а второй выводок готов начать размножаться. Потомство кроликов растет так:

И так далее. Количество пар каждый месяц соответствует этой последовательности:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

На первый взгляд, эти числа не очень интересны, но они неожиданно всплывают вновь и вновь. Возможно, не так очевидно, что здесь есть закономерность, но она есть. Сложите последние два числа в последовательности, чтобы получить следующее:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

и так далее. Эта последовательность называется «числа Фибоначчи». Если мы обозначим n-ое число Фибоначчи как F(n), общее выражение для нахождения числа Фибоначчи будет тогда:

F(n) = F(n–1) + F(n–2)

Вы можете увидеть, как это работает на примере из последовательности, восьмом числе:

F(8) = F(7) + F(6)

21 = 13 + 8

Пропуск между числами становиться больше и больше:

F(38) = 39 088 169

F(39) = 63 245 986

Следовательно,

F(40) = 39 088 169 + 63 245 986 = 102 334 155

Числа быстро растут; F(20 000 000) содержит более 4 миллионов знаков. Если мы предположим, что Фибоначчи отпустил своих двух первых кроликов в поле 800 лет назад, и, прощая тот факт, что некоторым кроликам сейчас по 800 лет, то прошло уже 800 х 12 = 9600 месяцев. F(9600) содержит больше 2000 знаков, следовательно, оно больше 10²⁰⁰⁰. Это означает, что там будет больше 10²⁰ гуглов пар кроликов к настоящему моменту, или намного больше, чем атомов во Вселенной. Это весомый аргумент в пользу стерилизации вашего домашнего кролика.

Пчелы очень любят мед

История с кроликами была несколько гипотетической, но есть и другие виды животных, которые демонстрируют более точное олицетворение теории Фибоначчи. Если обратить внимание на генетику пчел, серии Фибоначчи покажут число предков каждой пчелы.

У самцов пчел — только один родитель, матка, так как они вылупляются из неоплодотворенных яиц. У самок — два родителя, самец и самка. Так, если вы начнете с самца и нарисуете фамильное древо, оно будет выглядеть как то, что справа.

Добавляя предков, мы получаем:

Хотя у самки было преимущество на старте, она отстоит лишь немного дальше в ряду Фибоначчи, а числа, в конечном счете, те же.

Разветвления

У многих деревьев листья и ветви растут в соответствии с моделью, которая соотносится с рядом Фибоначчи. Несложно увидеть, почему ветви попадают в этот шаблон, так как каждое ответвление дает побег в сторону и затем, через некоторое время, он дает свой собственный побег, и так далее (см. выше).

У цветов числа Фибоначчи соответствуют лепесткам, а большинство фруктов внутри разделяется на доли в соответствии с числами Фибоначчи (например, три в банане и пять в яблоке).

Последовательность проявляется даже в нашем теле, например, в отношении длины косточек пальцев.