Рост на пропорциональном увеличении
Числа могут расти удивительно быстро.
Существует легенда, будто правителю Индии так понравились шахматы, что человеку, который изобрел эту игру, он предложил любую награду, какую тот сам пожелает. Хотя он мог попросить любые богатства, этот человек высказал, на первый взгляд, очень скромное пожелание. Он попросил, чтобы правитель положил одно зерно риса на первую клетку шахматной доски, два — на вторую, четыре — на третью и так далее, удваивая количество, по мере передвижения по шахматному полю. Правитель охотно согласился, озадаченный тем, что человек просит так мало. Пока не попробовал выдать награду.
Куча риса вскоре перестала умещаться на предназначенной ей клетке. Вскоре она переполнила доску, а затем и весь дворец, а под конец — всю Индию. К моменту, когда правитель достиг последней клетки доски, ему понадобилось 263 зерна риса. Это 2 х 2 х 2 х 2 х... и так 63 раза, что примерно соответствует 9 200 000 000 000 000 000 зернам риса.
Сколько места он займет, зависит от вида использованного риса. Если это длиннозерный рис, с зернами длиной 7 мм, из этого риса получится линия длиной примерно в семь световых лет. Это большая часть пути до Альфа Центавра и обратно, или к Солнцу и обратно 215 000 раз.
Экспоненциальный рост
Любая система роста, которая основывается на пропорциональном увеличении, а не приросте фиксированного количества, быстро разгоняется. Габор Зовании, профессор городского планирования в Восточном Вашингтонском университете, утверждает, что если человечество началось с одной пары 10 000 лет назад и увеличивалось бы на 1% в год (немного сложно вначале, но не важно), тогда к настоящему моменту мы были бы частью «плотного шара плоти диаметром во много тысяч световых лет, который увеличивается с радиальной скоростью, которая, если пренебречь теорией относительности, будет во много раз быстрее скорости света». Звучит страшно. Последовательность Фибоначчи воспроизводящихся кроликов — еще один пример экспоненциального роста популяции, который приведет к стадии шара меха и плоти гораздо быстрее.
Мы все родственники?
Мы можем также провести исследование популяции в обратном порядке.
У каждого человека двое родителей, четверо родителей родителей, восемь родителей родителей родителей, и так далее, все глубже в прошлое. Когда количество предков возрастает как 2 в степени, пройдет совсем немного времени, и у вас окажется больше предков, чем жило на планете в те времена, когда должны были жить эти предки. Если мы возьмем по 20 лет на поколение — что может показаться маловато в наше время, но в прошлом так и было — вам придется вернуться в прошлое всего лишь к 1375 г., чтобы получить 4 миллиарда предков. Но в 1375 г. на планете было всего 380 миллионов человек.
Где-то около 1450 г. на Земле было достаточно людей, чтобы каждый оказался вашим предком единожды — хотя, конечно, дело обстояло совсем по-другому. К 1375 г. каждый был больше, чем одним из ваших предков одновременно. И все они были больше, чем одним из моих предков, и предков вашего соседа...
Это ваш предок?
Так как предки могут быть общими, сеть родственных отношений крайне сложна. Это называется «редукция предков» и имеет место тогда, когда, например, у кузины Мэри и ее потомков меньше, чем восемь прабабушек и прадедушек. Редукция предков распространена в небольших общинах и в элитных группах, таких как королевская семья.
Йельский статистик Джозеф Чанг посчитал, что после определенного момента каждый, кто жил в это время и у кого были потомки, является общим предком для всех людей, живущих в том же сообществе сегодня. Этот момент для Европы — около 600 г. н. э., т. е. все европейцы-не-иммигранты происходят от императора Священной Римской империи Карла Великого (а также от множества других людей). Статистические открытия с тех пор были подтверждены исчерпывающим анализом ДНК европейцев.
Если углубляться в прошлое, 3400 лет назад, каждый, кто имел потомков, был общим предком каждого живущего человека на Земле (в теории). Вы являетесь родней древнеегипетской красавицы Нефертити.
Не хотите взять ссуду?
Числам не обязательно удваиваться, чтобы очень быстро расти.
Пропорциональный рост знаком большинству из нас через процентную ставку. Она работает на вас, если вы откладываете сбережения, но работает против вас, если вы занимаете деньги.
Банки и финансовые организации используют систему сложных процентов. Это означает, что процент по долгу или сбережениям добавляется к первоначальной сумме в конце периода (день, месяц, год), и затем процентная ставка применяется к новой сумме. Предположим, вы положили на депозит $1000 под 3% годовых. Как быстро они вырастут?
Причина, по которой сложный процент имеет такое большое значение для тех, кто кладет (и тех, кто берет), в том, что эта перемена создает огромную разницу применительно к этим цифрам:
Год в начале не стоит столько же, сколько год в конце. При ставке в 10% первые десять лет принесут доход в $1593,74, но следующие 15 лет принесут не в 1,5 раза больше — они принесут доход в $8240,97, или примерно в 5 раз больше. Именно поэтому политики и бухгалтера агитируют нас начать делать вклады в пенсионный фонд пораньше.
Отчисления на старость
Если вы положите $1000 в пенсионный фонд в 20 лет и затем уйдете на пенсию 45 лет спустя, не положив ничего больше и заработав 3% годовых за этот период, у вас будет $3781,60, когда вы выйдете на пенсию. Но если вы клали по $1000 ежегодно в течение 45 лет, с той же процентной ставкой в 3%, у вас будет $95 501,46, когда выйдете на пенсию. Если вы выберете 10% годовых, у вас будет $790 795,32 к пенсии, что выглядит довольно прилично — особенно при инвестициях в $45 000.
День за днем
Хорошо, если у вас есть деньги, чтобы отложить про запас, но что, если вы находитесь на другом конце экономического диапазона? Если вам пришлось взять краткосрочный потребительский кредит или обратиться к ростовщику, это может закончиться выплатой астрономической суммы по процентам, потому что на этот раз арифметика работает против вас.
Например, если вы берете заем в £400 на 30 дней в день выплаты при ставке в 0,78% в день, вам придется отдать £487,36: это первоначальные £400 плюс £87,36 про процентам. Причиной, по которой сумма столь велика, является сложный процент — привлекательные на вид 0,78%. Они приписываются каждый день, следовательно, каждый день сумма, с которой они считаются, растет. Действительная ставка процента за весь год — 284%.
Что, если вы займете £50 у друга на неделю и пообещаете купить ему кофе? Это хорошая сделка? Она позволяет избежать потребительского кредита. Но если кофе стоит £2, это эквивалент 4% в неделю — или 208% в год. Если вы возьмете £50 в банке под 10%(в год, не в неделю или в день) — это будет стоить всего 10 пенсов за проценты.