Современное понятие математики
Николай Иванович Лобачевский
Для предыдущих эпох было характерно считать, что математическая наука отражает свойства реального мира в несколько идеализированной форме. Сформированные в древности гипотезы ни у кого не вызывали сомнения, к примеру, геометрия Евклида — одна на все времена и никто не властен изменить ее, также как физик не в силах изменить природное явление. Однако научно-техническая революция XIX века перевернула многие представления и убеждения с ног на голову.
Предпосылки этому можно найти еще в XVII веке, когда знаменитый математик Лейбниц поставил новые задачи математической науки. По его убеждению, первостепенно задачей математики является изучение всего, «что в области воображения поддается точному определению». Таким образом, математика является «логикой воображения». Теперь объектами исследования математики становятся все относительное и абсолютное, реальное и невозможное, похожее и различное, отношения единицы и многого, части и целого. В связи с этим в математике появляется ряд существенно новых направлений.
Интенсивное внутреннее развитие математики, взаимодействие с естествознанием приводят к тому, что в конце XIX века в математической науке зарождаются новые теории.
Одним из самых выдающихся открытий того времени является построение так называемой неевклидовой геометрии. Созданная великим русским математиком Н. И. Лобачевским новая геометрия стала своеобразным символом внутреннего развития математики. Благодаря открытию неевклидовой геометрии было отвергнуто представление об «абсолютной истинности» аксиом, не требующих доказательства ввиду своей очевидности. Теперь аксиомы рассматривают как гипотезы. Эти изменения потребовали от математиков более глубоких исследований в области оснований математики и всесторонней критике систем аксиом. Все это привело впоследствии к формированию аксиоматического метода, ставшего наиболее эффективным методом познания для многих математических дисциплин.
Двухъядерный процессор Intel
Усиленное внимание к вопросам обоснования математики и критическому пересмотру исходных положений и логических приемов доказательства, привело к формированию новых стандартов. К концу XIX века сложился ряд строгих требований к практической работе математиков, который сегодня составляет предмет математической логики.
Не менее важным этапом в развитии математической науки стало углубленное изучение геометрических пространств. Весомый вклад в развитие этой области внес Риман. В его работах показано безграничное разнообразие геометрических пространств, отличающихся друг от друга размерностью, формулами для вычисления расстояний и пр. Теперь область исследования становится значительно шире, изучаются пространства с комплексными координатами, прямые, окружности, сферы, а также функциональные пространства. Интенсивное изучение функциональных пространство позволило создать новый раздел математики — функциональный анализ, в котором геометрические понятия и идеи используются для решения сложных задач математического анализа.
Итак, в результате развития математики и естествознания круг количественных отношений и пространственных форм значительно увеличится, теперь в него входит все бесконечное разнообразие форм пространств любого числа измерений.
Как уже говорилось, в начале XIX века происходит значительной увеличение областей приложения математического анализа. К примеру, в области механики и математической физики разработана теория обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частичными производными и пр.
Развитие теории дифференциальных уравнений позволило перейти к исследованиям по топологии многообразий. На основе теории множеств и функционального анализа была построена теория общих топологических пространств.
В конце XIX века методы дифференциальных уравнений были дополнены методами теории вероятности для детального и углубленного изучения природы. Ранее вероятностные методы использовались преимущественно в теории артиллерийской стрельбы и теории ошибок, теперь в конце XIX начале XX века теория вероятностей, благодаря разработке теории случайных процессов и развитию аппарата математической статистики получает более широкое применение.
Серьезные изменения произошли в области алгебры. Направление алгебраических исследований изменяется в сторону общих алгебраических систем, теории групп, полей, колец. На стыке алгебры и геометрии возникает новая теория непрерывных групп. Методы новой теории проникнут впоследствии во многие области математической науки и естествознания.
XIX-XX века стали триумфальным периодом в развитии математики. Точная наука проникает во многие сферы практической деятельности, а прогресс вычислительной техники позволяют автоматизировать все большее количество сфер человеческой жизни.