Целые числа

Познакомившись с понятием натуральные числа и основными арифметическими действиями над ними, можно перейти к следующему виду чисел.

Целые числа Z получают путем объединения натуральных чисел с множеством отрицательных и нулем. На письме это обозначается таким образом: Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

Из этого следует, что целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения.

Точное определение звучит так: множество целых чисел Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, ...} определяется как замыкание множества натуральных чисел N относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-). Следовательно, сумма, разность и произведение двух целых чисел дают целые числа.

Целое число состоит из положительных натуральных чисел (1, 2, 3) и чисел вида -n и числа ноль.

Отрицательные числа впервые введены в математический тезаурус Михаэлем Штифелем в книге «Полная арифметика», написанной в 1544 году.

К основным алгебраическим свойствам сложения и умножения любых целых чисел относятся:

Замкнутость: при сложении — a + b = целое, при умножении a × b = целое;
Ассоциативность: при сложении a + (b + c) = (a + b) + c, при умножении a × (b × c) = (a × b) × c;
Коммутативность: при сложении a + b = b + a, при умножении a × b = b × a
Нейтральный эелемент: при сложении a + 0 = a; при умножении a × 1 = a;
Противоположный элемент: при сложении a + (−a) = 0; при умножении a × 1/a = 1;
Дистрибутивность умножения относительно сложения: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Первые пять вышеперечисленных свойств сложения целых чисел, свидетельствуют о том, что Z является циклической группой. Это следует из того, что каждый ненулевой элемент Z может быть записан в виде конечной суммы 1 + 1 + ... 1 или (−1) + (−1) + ... + (−1). Таким образом, Z является единственной бесконечной циклической группой по сложению по причине того, что любая бесконечная циклическая группа подобна группе (Z, +).

Первые четыре свойства умножения показывают то, что Z не является группой по умножению, и, следовательно, не является полем. Наименьшее поле, состоящее из целых чисел — это множество рациональных чисел Q.

Операция обычного деления для множества целых чисел не определена. Однако установлено так называемое деление с остатком. Таким образом, для любых целых чисел a и b, , b <> 0 существует один единственный набор целых чисел q и r, где a = b*q + r и , где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. То есть, a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток. На основе деления с остатком разработан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Положительным называют целое число в том случае, если оно больше нуля, отрицательным — если меньше нуля.

Кстати сказать, что нуль не является положительным или отрицательным.

Для любых целых чисел справедливы следующие соотношения:

если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда следует , что если c < 0, то ac > bc.)
Целые числа играют основополагающую роль во всех основных языках программирования. В настоящее время разрабатываются теоретические модели цифровых компьютеров, которые будут иметь потенциально бесконечное, но счетное пространство.