Топология, или Почему нельзя надеть носки через голову

Топология изучает свойства объектов, которые не изменяются при деформации без разрывов и склеиваний.

Кружка и бублик с точки зрения топологии — одно и то же. Ведь в каждом из этих предметов по одной дырке (у кружки — дырка в ручке)

Метрические свойства объекта, то есть расстояние между двумя точками, тополога не интересуют. Ему не важен угол или кривизна. Топологию называют еще резиновой геометрией, потому что тополог может поместить изучаемые фигуры на поверхность воздушного шарика и менять его форму, следя за тем, чтобы шарик не лопнул. Таким образом, любую фигуру тополог может сгибать, скручивать, сжимать и растягивать — делать с ней все что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом ученый будет считать, что все ее свойства остались неизменными. Для него не имеет значения, что прямые при этом превращаются в кривые. Поэтому окружность и квадрат для него — одно и то же. Не отличаются друг от друга также кружка с одной ручкой и бублик. Дело в том, что в каждом из этих предметов имеется одна дырка и, деформируя кружку, можно получить бублик. Такие предметы называются гомеоморфными. А вот если у кружки две ручки, бублик из нее получить невозможно.

Таким образом, топология изучает самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы — «взрыва» фигуры. Вообще же в шутку говорят, что топология — это наука, которая объясняет, почему нельзя надеть носки через голову.

Что такое связность

Топология изучает такое явление, как связность. Например, чтобы разделить яблоко на две части, достаточно его разрезать один раз. А чтобы разделить надвое кольцо, его надо разрезать дважды. Таким образом, яблоко односвязно, а кольцо двусвязно. Лента Мёбиуса двусвязна, но если перекрутить ее еще раз, она становится односвязной.

Яблоко, с точки зрения топологии, односвязно, ведь его достаточно разрезать один раз, чтобы разделить на две части

Бутылка без конца и края

Бутылка Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность, которую впервые описал немецкий математик Ф. Клейн в 1882 г. Ее модель строится так: берется бутылка с двумя дополнительными отверстиями — в донышке и стенке. Горлышко бутылки вытягивается, изгибается вниз, продевается через отверстие в стенке и присоединяется к отверстию на дне бутылки. Бутылка Клейна не должна самопересекаться, но в обычном трехмерном пространстве это сделать невозможно, поэтому и нужна дырка в стенке. В отличие от обыкновенной бутылки, у этого объекта нет края, где поверхность бы резко заканчивалась. В случае бутылки Клейна можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (у этого объекта отсутствуют понятия «внутри» и «снаружи»), чего нельзя сделать, например, с воздушным шариком.

Эта бутылка Клейна самопересекается, что противоречит ее определению, но в трехмерном пространстве такой объект нельзя сделать по-другому