Теорема о неполноте
Знаменитое математическое наследие Курта Гёделя — две теоремы о неполноте. Значимость этих теорем выходит далеко за рамки натуральных чисел и просто арифметики.
Многие люди, в основном, не разбирающиеся в математике, делают довольно громкие заявления, касающиеся теоремы о неполноте. Некоторые говорят, что она доказывает существование Бога, другие утверждают, что эта теорема опровергает его существование, третьи видят в ней демонстрацию непоколебимого превосходства человеческого мозга над компьютером.
Теорема о неполноте, опубликованная в 1931 году, не решала вопросы существования или отсутствия Бога, равно как не имела никакого отношения к разуму человека. Но эта работа Гёделя оказала огромное влияние на расширение границ возможностей нашего познания. На самом деле теорема Гёделя — это две теоремы о неполноте математической логики. Обе они относятся к любой формальной системе, которую можно использовать для выражения неких простых арифметических действий и в которой могут быть доказаны какие-либо базовые правила арифметики. Например, в случае со сложением, правилами является «x + y = y + x (2 + 1 = 3 = 1 + 2)».
Первая теорема гласит, что любая постоянная система — то есть любая, где отсутствуют утверждения, которые могут быть как верными, так и неверными, — содержит утверждения, которые не могут быть доказаны или опровергнуты внутри этой системы. Вторая теорема неполноты гласит, что ни одна подобная система не может быть доказана как постоянная внутри самой себя. Так, например, фраза «Это утверждение неверно» не является ни верным, ни неверным утверждением. Если данное утверждение верно, то оно, как в нем самом и указано, неверно. Если же оно неверно, то, по той же логике, оно будет верно. Такая система не может разрешить саму себя.
Теорема Гёделя разрешала математические вопросы, но с ее помощью философы могут определить природу понятий «правда» и «разум». Компьютеры, чье создание во многом было вдохновлено математическими работами Курта Гёделя, не могут работать вне определенных границ и не могут осознать само понятие «границ». Однако человеческий мозг осознает свои пределы (или хотя бы думает, что осознает). В таком случае, если бы мы могли сделать разумный компьютер, значило ли бы это, что такой компьютер станет человеком? И значит ли это, что мы сами являемся компьютерами?
Парадокс лжеца
Древнегреческий философ Эпименид, живший на Крите, рассуждал о самоограниченных системах еще в шестом веке до нашей эры. Он выразил это так: «Я — критянин. Все критяне — лжецы». Этот парадокс и его вариации («Это предложение ложно») теперь называется парадоксом лжеца. Если то, что все критяне лжецы, правдиво, то мы не можем верить утверждению Эпименида. Ведь получается, что он лжет, когда говорит, что все критяне лжецы, и, значит, некоторые критяне лжецами не являются. Является ли он одним из этих критян? Тогда, возможно, он говорит правду. Что значит, что он лжет.