Попыток создать геометрию, отличную от евклидовой, было множество. Загвоздка была в том самом постулате о параллельных прямых, который никак не удавалось доказать. И постепенно ученые стали приходить к мысли, что можно построить такую геометрию, где пятый постулат будет отличаться от евклидова. Над этим работали и Карл Гаусс, и Янош Бояи, но первопроходцем стал Николай Иванович Лобачевский, который в 1829 г. опубликовал свои «Начала геометрии». Он оставил первые четыре постулата, но заменил пятый.
Пятый постулат Лобачевского утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее, в то время как в евклидовой геометрии через эту точку можно провести только одну такую прямую.
Иногда ошибочно думают, что в геометрии Лобачевского две параллельные прямые пересекаются, но это не так. Более того, в неевклидовой геометрии вообще ничего не говорится о параллельных прямых — только о непересекающихся. Дело в том, что пространство, в котором действует геометрия Лобачевского, обладает отрицательной кривизной. Такое пространство можно вообразить, если представить себе геометрические тела, похожие на воронку и седло. Во всяком случае, неевклидова геометрия, в отличие от евклидовой, реализуется в искривленном пространстве. А ведь сейчас считается, что пространство нашей Вселенной обладает кривизной. Связана неевклидова геометрия и с теорией относительности Эйнштейна. А евклидова геометрия тоже верна, но является ее частным случаем.
В науке известны три великие геометрии — Евклида, Лобачевского и Римана. Геометрия Римана реализуется на сфере, и там все прямые пересекаются. Но их при этом нельзя назвать параллельными. Дело в том, что параллельные прямые, согласно своему определению, не пересекаются ни в одной геометрии.