Статистика Ферми — Дирака

«Физические законы должны обладать математической красотой.»
Поль Дирак

Если все однородные частицы в квантовой физике абсолютно тождественны, то есть неотличимы друг от друга, то как же описать их состояние? Вот тут на первый план и выходит квантовая статистика. А поскольку фермионы и бозоны ведут себя отлично друг от друга, начнем рассказ с фермионов.

В классической физике все микрочастицы в принципе различимы, в квантовой же физике различия между одинаковыми частицами нет! Поэтому все описание сводится к статистическому анализу вероятности событий.

Выше мы описали понятие спина и указали, что частицы, имеющие спин, равный %, называются фермионами. К фермионам относится, например, электрон. В отличие от бозонов, имеющих спин, равный 1, фермионы подчиняются принципу Паули, чего нельзя сказать о бозонах.

Неразличимые близнецы, или одно и то же

Описанием поведения частиц занимается квантовая статистика — раздел статистической физики, исследующий системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.

Энрико Ферми (1901-1954) — итальянский физик, наиболее известный благодаря созданию первого в мире ядерного реактора, внесший большой вклад в развитие ядерной физики, физики элементарных частиц, квантовой и статистической механики. Считается одним из «отцов атомной бомбы». Лауреат Нобелевской премии по физике 1938 года

Изучаемые в курсе классической молекулярной физики частицы можно было рассматривать как упругие шарики. При этом каждую из одинаковых частиц можно было отличить от других — как бы «пронумеровать», отследить траекторию каждой из них. При рассмотрении поведения коллектива таких частиц можно пользоваться распределением Максвелла и Больцмана — это статистическое распределение частиц с различными энергетическими состояниями в термодинамическом равновесии при достаточно высокой температуре и достаточно низкой плотности.

Статистика Ферми — Дирака была предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил ее квантово-механический смысл.

Он нас посчитал!

Природа же квантовых частиц не позволяет отличить их друг от друга. Если две тождественные частицы, то есть частицы с одинаковыми массами, зарядом, спином и так далее, взаимодействуют, то мы не можем выяснить, какая из двух частиц была первая, а какая вторая. В квантовой физике действует принцип неразличимости тождественных частиц: тождественных частицы экспериментально различить принципиально невозможно.

Распределение Ферми — Дирака: высокоэнергетические состояния имеют меньшую вероятность, а низкоэнергетические более вероятны

Для описания поведения систем фермионов и их вероятного распределения по энергетическим уровням применяется статистическое распределение Ферми — Дирака. Еще раз напомним, что фермионы (электроны, протоны, нейтроны и др.) подчиняются принципу запрета Паули. В таких системах в одном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Согласно этой статистике и описывается вероятность того, что состояние с некоторой энергией E при температуре Т будет занято электроном.

Итак, распределение Ферми — Дирака математически отражает суть поведения частиц с полуцелым спином: присутствие фермиона в конкретном квантовом состоянии запрещает другим фермионам находиться в том же состоянии.