Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли определяет связь между скоростью текущей жидкости и давлением. Оно управляет полетами самолетов, описывает течение крови по сосудам и впрыскивание горючего в двигатели автомобилей. Быстро текущие жидкости создают низкое давление, чем и объясняется подъемная сила, действующая на крыло самолета, или сужение струи бьющей из крана воды. Используя этот эффект для измерения кровяного давления, Даниил Бернулли вводил трубочки в вены пациентов.
Когда вы открываете водопроводный кран, из него течет струя, сечение которой меньше сечения крана. Почему? И какое отношение имеет это к самолетам и пластическим операциям на сосудах?
Голландский физик и врач Даниил Бернулли понял, что движение воды приводит к уменьшению ее давления. Чем быстрее вода течет, тем ниже давление. Представьте себе расположенную горизонтально прозрачную стеклянную трубку, через которую прокачивается вода. Вы можете измерить давление в трубке, вертикально вставив в нее другую, тоже прозрачную, но очень тонкую, капиллярную, и посмотрев, как меняется в последней высота воды. Если давление в первой трубке повышается, уровень воды во второй возрастает. Если давление понижается, уровень падает.
Когда Бернулли увеличивал скорость течения воды в горизонтальной трубке, давление в вертикальном капилляре падало — пропорционально квадрату скорости воды. Стало быть, любая текущая жидкость обладает давлением более низким, чем неподвижная.
Давление в воде, вытекающей из крана, ниже давления окружающего воздуха, потому ее струя и сужается. И применим этот закон к любой жидкости — от воды до воздуха.
Кровоток
Медик по образованию, Бернулли изучал протекание крови по телу человека и изобрел инструмент, который позволял измерять кровяное давление. Введенная в кровеносный сосуд капиллярная трубка почти два столетия использовалась для измерения кровяного давления живых пациентов. Надо полагать, изобретение способа не столь инвазивного стало большим облегчением для всех причастных к таким измерениям лиц.
Совершенно как вода в трубке, кровь в артерии откачивается из сердца посредством установления градиента давления по всей длине сосуда. Если артерия сужается, скорость крови, проходящей узкое место, возрастает согласно уравнению Бернулли. Когда сосуд сужается вдвое, скорость протекающей по нему крови возрастает в четыре (два в квадрате) раза. Это убыстрение кровотока в ограниченных областях может приводить к проблемам. Во-первых, если скорость потока крови достаточно высока, он может стать турбулентным, вихревым, в нем появятся подобия водоворотов. Турбулентность вблизи сердца порождает в нем шумы — характерные звуки, которые умеют различать врачи. Кроме того, падение давления в ограниченной области может приводить к стягиванию мягких стенок сосудов, а это усугубит проблему еще сильнее. Если артерию расширить посредством пластической операции (ангиопластика), объем потока увеличится и все снова будет хорошо.
Подъемная сила
Падение давления с увеличением скорости потока имеет и другие серьезные последствия. Самолеты летают потому, что воздух, обтекающий их крылья, создает перепад давления. Обычно форма крыла такова, что верхняя его часть изогнута больше нижней. Поскольку по верхней воздуху приходится проходить путь более длинный, воздух движется по ней быстрее, чем по нижней части, и потому давление здесь меньше, чем под крылом. Эта разница давлений создает подъемную силу, которая и позволяет самолету держаться в воздухе. Однако тяжелым самолетам приходится двигаться быстрее, чтобы получить перепад давлений, создающий подъемную силу, достаточную для отрыва от взлетной полосы.
Подобный же эффект используется для впрыскивания топлива из карбюратора в двигатель автомобиля. Специальное сопло, именуемое «трубкой Вентури» (широкая трубка, суженная в середине), создает низкое давление воздуха, задерживая, а следом высвобождая поток, который всасывает топливо и затем доставляет в двигатель рабочую смесь — топлива с воздухом.
Сохранение
Даниил Бернулли пришел к своему открытию, размышляя о применимости закона сохранения энергии к текучим средам. Текучие среды, в том числе жидкости и воздух, — это непрерывные субстанции, обладающие способностью к постоянной деформации. Однако они должны подчиняться основным законам сохранения — и не только энергии, но также массы и количества движения. Поскольку любая движущаяся текучая среда перераспределяет, в сущности говоря, свои атомы, последние должны следовать выведенным Ньютоном и другими законам движения. При описании какой угодно текучей среды нельзя говорить о создании и уничтожении атомов — только об их движении, — поэтому необходимо учитывать и столкновения атомов друг с другом, при которых изменение их скоростей предсказывается законом сохранения количества движения. Кроме того, суммарная энергия всех частиц текучей среды должна оставаться постоянной, энергия может перераспределяться только внутри системы.
Эти законы физики используются ныне для моделирования поведения самых разных текучих сред — воздушных потоков в атмосфере (прогнозирование погоды), океанических течений, циркуляции газа в звездах и галактиках и протекания жидкостей в наших телах. Предсказание погоды основывается на компьютерном моделировании совместного движения множества атомов в сочетании с термодинамикой, позволяющей учитывать тепловые изменения при движении атомов и региональные изменения плотности, температуры и давления воздуха. И здесь изменения давления и скоростей взаимосвязаны, они заставляют ветра дуть из областей высокого давления в области низкого. Те же идеи использовались при моделировании пути урагана «Катрина», летевшего в 2005 году к побережью Америки.
«Летательные аппараты более тяжелые, чем воздух, невозможны. У меня нет ни малейшей молекулы веры в какие-либо полеты, отличные от тех, которые совершают воздушные шары, как нет и ожидания достойных результатов от испытаний, о которых мы постоянно слышим» Лорд Кельвин, 1895
Законы сохранения получили свое воплощение в системе других уравнений, названных в честь ученых, которые их вывели, — уравнения Навье—Стокса. Они описывают эффекты, возникающие в жидкости вследствие ее вязкости и липкости и создаваемые силами, которые действуют между образующими жидкость молекулами. Оперируя скорее законами сохранения, чем абсолютно точными предсказаниями, эти уравнения позволяют отследить изменения и циркуляцию частиц жидкости в среднем, не используя полное число атомов.
Уравнения Навье—Стокса хоть и являются достаточно детализированными для описания поведения многих сложных систем — таких как климатические явления, в том числе и осцилляции Эль-Ниньо и ураганы, — однако они не годятся для описания потоков с высокой турбулентностью — водопадов или струй фонтана. Турбулентность — это случайное движение взбудораженной воды, для которого характерны нестабильность и образование водоворотов. Она возникает, когда скорость потока становится очень высокой, а сам он — нестабильным. Поскольку турбулентность очень трудна для математического описания, ученых, которые смогут вывести новые уравнения для описания этих крайних ситуаций, все еще ждут большие денежные премии.
Даниил Бернулли, 1700-1782
Выполняя желание своего отца, голландский физик Даниил Бернулли выучился на врача, однако подлинная его любовь принадлежала математике. Отец Даниила, Иоганн, как раз математиком и был, но пытался убедить сына не следовать по его стопам и соперничал с ним на протяжении всей карьеры Даниила. Бернулли выучился в Базеле на врача, однако в 1724 году стал профессором математики в Санкт-Петербурге. Изучая совместно с математиком Леонардом Эйлером поведение жидкостей, он установил связь между скоростью и давлением посредством экспериментов с трубками, которые врачи использовали для измерения кровяного давления, вводя их в артерии. Бернулли понял, что связь скорости протекания и давления жидкости определяется законом сохранения энергии, и показал, что если скорость увеличивается, то давление падает. В 1733 году Даниил получил пост в Базеле, однако Иоганн проникся завистью к достижениям сына. Мысль о том, что ему придется работать на одном факультете с Даниилом, была настолько ненавистна Иоганну, что он даже выгнал сына из своего дома. Несмотря на все это, Даниил посвятил ему свою книгу «Гидродинамика», написанную в 1734 году, но опубликованную только в 1738-м. Однако Бернулли-старший присвоил идеи сына, опубликовав вскоре схожую книгу под названием «Гидравлика». Огорченный этим плагиатом, Даниил вернулся к медицине и оставался верен ей до конца.
