Счёт и цифры
Право считаться основателями математики как науки оспаривают египтяне, вавилоняне и китайцы. На рубеже III-II тыс. до н. э. эти народы придумали обозначения для цифр и написали первые математические труды с примерами простых арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), действий с дробями, решений уравнений, вычислением площадей и объёмов некоторых фигур. Математические знания применялись в торговле, строительстве, сельском хозяйстве, мореплавании, астрономии.
Камешки и пальцы
Уже первобытные народы сталкивались с проблемой: как разделить добычу поровну меж соплеменниками? Сколько наконечников стрел изготовить для охоты? Древние люди не видели числового равенства между одним бизоном и одним топором, не отделяли число от объекта счёта.
Для подсчётов использовали предметы, обозначающие считаемые объекты. Выпуская овец на выгон, пастухи на каждую овцу откладывали камешек, а вечером по камешкам сверяли число овец — если остался лишний, надо искать пропавшую овцу. Древнейшими «счётами» были пальцы — они всегда «под рукой».
Археологи находили кости, на которых люди ещё 30 тыс. лет назад, пересчитывая что-то, делали зарубки, группируя их по 5. Число 55 древний арифметик изобразил 11 группами по 5 зарубок — явно считал по пальцам. На руках 10 пальцев — отсюда используемая и поныне десятичная система счисления. Некоторые народы считали двадцатками, учитывая и пальцы на ногах. Но этот способ не прижился, возможно, из-за распространения обуви.
Число — основное понятие математики, используемое для описания количества или для нумерации.
Цифра — знак для записи числа.
Один, два, много
Для удобства числам стали давать имена. Не «отрывая» число от объекта счёта, шумеры называли числительные примерно так: «двеовцы», «два-мешказерна», «двекоровы», «трикоровы», и так на каждый объект счёта в его количественном выражении.
Первыми осознанными числами стали «один» и «два». Солнце одно, и нос один, а рук и ног — по две. Это понять несложно. А то, что больше двух, — «много». И у некоторых современных первобытных народов всего 3 числа: «один, два, много».
Потом «много» стали разлагать на известные «один» и «два». Так 3 — это «два и один», 4 — «два и два», 5 — «два, два и один» и так до 10. А после 10 — снова «много».
Вавилоняне изобрели абак — счётную доску, разлинованную на колонки, в которых двигали камешки для счёта. Египетский абак — проволочки с нанизанными камешками — напоминал счёты, которыми ещё недавно, до появления калькуляторов, пользовались счетоводы. Римляне называли свой абак «калькули» (от лат. саlсиlаtorе — вычислять) — отсюда произошло слово «калькулятор».
Запись количества
Прообраз цифр в начале IV тыс. до н. э. создали шумеры. Они вели учёт имущества глиняными фишками разных форм, обозначающих разные товары, — токенами. Токены складывали в глиняный сосуд и запечатывали его, чтобы не растерять фишки. Чтобы каждый раз при пересчёте не разбивать сосуд, на его стенках, пока глина не высохла, делали отпечатки положенных в него токенов. А потом токены просто стали отпечатывать на куске глины.
Отпечатки сменились пиктограммами шумерских числительных («двеовцы», «трикоровы»). С развитием письменности пиктограммы превратились в клинописные знаки, но так как число всё ещё оставалось связанным с предметом, цифрами эти знаки ещё не были.
Изобретатели цифр
«Оторвали» число от предмета вавилоняне, наследники шумерской культуры. Появились числа, применяемые к любым объектам: вместо «двеовцы» стало «2 овцы». Вавилоняне разделили числа на разряды и ввели числовой ряд до 60.
Шестидесятиричная система счисления дошла до нас в делении часа на 60 минут, а круга на 360 градусов. Цифры (нумерация) в Вавилоне возникли во II в. до н. э., о чём свидетельствуют вавилонские клинописные таблички. Тогда же свои цифры-иероглифы изобрели египтяне и китайцы. Египтяне могут считаться изобретателями современной десятичной системы счислений.
Развитие идеи
Древнейшие цифры, использующиеся и по сей день, — римские цифры. Римляне ввели обозначения цифр от 1 до 1000. Они употребляли особые знаки для десятичных разрядов: I = 1, X =10, С = 100, М = 1000; и для их половин: V = 5, L = 50, D = 500. Причём если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (6 = 5 + 1 = V + I = VI), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (4 = 5 — 1 = V — 1 = IV). Это придумано для того, чтобы один знак в числе не повторялся более трёх раз.
Используемые нами арабские цифры были изобретены в Индии в V в. и попали в Европу через арабов. Начертания индийских цифр сильно преобразовались, и сейчас арабские цифры, которыми пишут в Египте и в арабских странах Востока, значительно отличаются от цифр, которыми пользуются в большинстве стран мира. Индийская система записи чисел основана на десятичной позиционной системе. Каждый разряд занимает в числе своё место, становясь впереди меньшего разряда. Десятки пишутся впереди единиц, сотни — впереди десятков, тысячи — впереди сотен и т. д.
