Что такое бесконечность?

Если действительно большие числа фактически бесполезны, насколько бесполезнее бесконечность?

На первый взгляд может показаться, что Вселенная либо бесконечна, либо конечна. Если она конечна, она, конечно же, не может вмещать ничего бесконечного, не так ли? Но она может. Для начала присмотримся к бесконечности чуть пристальнее.

Бесконечные числа

Большинство людей, если задать вопрос о бесконечности, представит себе нескончаемую вереницу чисел, начинающуюся с 1 или, возможно, 0, проходящую через 1 000 000, через гугол и даже гуголплекс, и уходящую еще дальше. Мы всегда можем добавить еще одну единицу, поменять 1 на 9, умножить число на само себя — этому нет конца.

И это правда. Но существует не только бесконечность чисел, растущая от 0 вверх, существует и бесконечность отрицательных чисел — чисел, растущих от нуля вниз.

Сколько бесконечностей?

На тот случай если этого недостаточно, существует также бесконечность дробей (1 над гуглом и т. д.) и бесконечность десятичных дробей (0,1; 0,11 и т. д.). Не раньше, чем доберетесь до 0,1111, где 1 повторяется до бесконечности, вы перейдете к 0,1211, где 1 снова повторяется до бесконечности, и так далее, так что существует множество бесконечностей даже между 0 и 1. Между 1 и 2 и 0 и –1 также много бесконечностей. Бесконечности бесконечны.

Насколько велика бесконечность?

Вопрос, который задают любопытные дети, — насколько велика бесконечность? Это выводит на новый уровень сложности, раз мы теперь знаем о многочисленных (бесконечных) бесконечностях. Здравый смысл рассматривает бесконечность четных чисел как половину бесконечности всех целых, то же относится и к нечетным числам. Но, несмотря на это, все они продолжаются вечно. Существует бесконечность между каждой парой соседних чисел на числовой прямой и бесконечное число знаков в каждом иррациональном числе. Но действительно ли бесконечность между 1 и 2 не может быть того же размера, что и между отрицательной и положительной бесконечностью? Поразительное открытие, что существуют большие и малые бесконечности, было продемонстрировано Георгом Кантором в 1874 г., а затем снова — в 1891 г.

Бесконечность в образе

Мы склонны визуализировать бесконечность как нечто увеличивающееся в пустоте, таким образом, идея, будто бесконечность может быть заключена, например, между 0 и 1, не стандартна. Даже тогда, если вы визуализируете бесконечность между 0 и 1, скорее всего, вы по-прежнему представляете ряд чисел, уходящий вдаль. Предел не достижим.

Более очевидный образ бесконечности возникает, когда мы имеем дело с дробями.

Фрактал — это бесконечно копируемые формы, и это видимая или визуализируемая бесконечность. Классический пример фрактала — это снежинка Коха. Начните с изображения правильного треугольника (все стороны которого равны).

Разбив каждую сторону треугольника на три равные части, рисуете другой правильный треугольник на каждой стороне, используя средний отрезок как основание. Сотрите эти основания и получите звезду (гексаграмму). Проделайте то же самое с каждым меньшим треугольником. И так далее.

Каждый раз, когда вы рисуете новую серию треугольных «колючек», периметр формы возрастает на одну треть. (Подумайте об этом — вы стираете одну третью часть стороны и добавляете ту же длину дважды; одна сторона новой колючки уравнивает изменение, а другая — добавляет новый участок периметра, равный трети длины стороны.) Очевидно, что периметр будет продолжать становиться больше и больше, и хотя каждый прибавляемый участок все меньше и меньше, их становится все больше и больше. Если изначальная длина стороны равна s, а количество повторений — n, то весь периметр (Р) можно представить выражением:

P = 3s x (4/3)ⁿ

Поскольку n растет, периметр стремится к бесконечности (т. к. 4/3 больше, чем 1, следовательно, (4/3)ⁿ становится все больше).

Площадь, охватываемая каждым новым треугольником, увеличивает на одну девятую площадь, добавленную предыдущим новым треугольником.

Это означает, что если площадь первого треугольника была 9 см² , каждый луч звезды будет иметь площадь 9 ÷ 9 = 1 см² , а новых луча 3, следовательно, площадь целой звезды 9 + 3 = 12 см² . На форме первой снежинки каждый новый треугольник добавляет 1 ÷ 9 = 1/9 см² , и их 12, следовательно, площадь всей снежинки будет:

12 + (12 х 1/9) = 12 + 1 3/9 = 13 1/3

Существует множество других фракталов, одним из самых известных является множество Мандельброта. Эта структура получена из сложных последовательностей чисел.

Фракталы или очень сходные с ними структуры также распространены в природе. Примерами являются система кровеносных сосудов или корней дерева, разветвления альвеол в легких, дельта реки, горы и даже молния.

Предел бесконечности

Хотя такие узоры теоретически могут повторяться до бесконечности, они, конечно же, не таковы в природе. В какой-то момент мы достигаем предельного числа молекул и не сможем повторить «узор» еще раз. Теоретически, подобные структуры представляют собой последовательности, которые могли бы быть продолжены бесконечно, но — насколько нам известно — нет ничего, что на самом деле не имеет предела. Тем не менее, бесконечность и бесконечно малые величины могут быть полезны в математике.