В августе 1900 года в Париже состоялся II Международный Конгресс математиков. Он мог бы пройти незамеченным, если бы на нем не выступил немецкий ученый, профессор Давид Гильберт, который в своем докладе поставил 23 самые главные на тот момент, существенные проблемы, касающиеся математики, геометрии, алгебры, топологии, теории чисел, теории вероятностей и пр. Статус задач Гильберта нельзя свести к простой формуле «решено 21 из 23»: некоторые получили окончательный ответ, некоторые были решены отрицательно, а часть изначально имела программный или неоднозначный характер. Открытыми остаются, в частности, важные части восьмой проблемы (включая гипотезу Римана и сильную гипотезу Гольдбаха), двенадцатая проблема в общем случае и значительная часть шестнадцатой проблемы. Для некоторых других задач степень «решённости» зависит от точной интерпретации первоначальной формулировки.

К числу решенных проблем, поставленных Гильбертом, с полным правом относятся следующие:

• Проблема равенства равновеликих многогранников (тетраэдров)
• Проблема причастности непрерывных групп к группам Ли
• Проблема доказательства трансцендентности или иррациональности числа 2 корень из 2
• Проблема существования общего алгоритма для решения диофантовых уравнений (10-я проблема; решена отрицательно теоремой Матиясевича — Дэвиса — Патнэма — Робинсон)
• Проблема исследования квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами
• Проблема невозможности решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных
• Проблема доказательства конечной порожденности алгебры инвариантов алгебраической группы
• Проблема представления определенных форм в виде суммы квадратов
• Проблема конечности числа кристаллографических групп (построение пространства из конгруэнтных многогранников)
• Проблема решений регулярной вариационной задачи Лагранжа
• Проблема общей задачи о граничных условиях
• Проблема доказательства существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии
• Проблема униформизации аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций
• Проблема развития методов вариационного исчисления.

Несколько проблем — доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле, строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта, а также топология алгебраических кривых и поверхностей — были признаны решенными частично. Некоторые ответы оказались принципиально не похожи на обычное «доказано/опровергнуто». Например, континуум-гипотеза независима от стандартной системы аксиом ZFC, если эта система непротиворечива: в рамках ZFC её нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Вторая проблема Гильберта также была существенно переосмыслена после теорем Гёделя о неполноте.

В 2000 году в бумагах Гильберта была обнаружена не вошедшая в доклад так называемая 24-я проблема — проблема теории доказательств критерия простоты и общих методов, которую ученый вычеркнул из своего списка в последний момент.