В августе 1900 года в Париже состоялся II Международный Конгресс математиков. Он мог бы пройти незамеченным, если бы на нем не выступил немецкий ученый, профессор Давид Гильберт, который в своем докладе поставил 23 самые главные на тот момент, существенные проблемы, касающиеся математики, геометрии, алгебры, топологии, теории чисел, теории вероятностей и пр. Несмотря на то, что одни проблемы не являются типично математическими (например, математическое изложение аксиом физики), а другие недостаточно четко сформулированы (проблема прямой, являющейся самым кратким соединением двух точек), их решению до настоящего времени отводится немало времени, о чем свидетельствует тот факт, что на сегодняшний день из 23 проблем не решены только 2: проблема простых чисел (гипотеза Римана и проблема Гольдбаха), а также распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.

К числу решенных проблем, поставленных Гильбертом, с полным правом относятся следующие:

• Проблема равенства равновеликих многогранников (тетраэдров)
• Проблема причастности непрерывных групп к группам Ли
• Проблема доказательства трансцендентности или иррациональности числа 2 корень из 2
• Проблема разрешимости Диофантова уравнения (теорема Ферма)
• Проблема исследования квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами
• Проблема невозможности решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных
• Проблема доказательства конечной порожденности алгебры инвариантов алгебраической группы
• Проблема представления определенных форм в виде суммы квадратов
• Проблема конечности числа кристаллографических групп (построение пространства из конгруэнтных многогранников)
• Проблема решений регулярной вариационной задачи Лагранжа
• Проблема общей задачи о граничных условиях
• Проблема доказательства существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии
• Проблема униформизации аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций
• Проблема развития методов вариационного исчисления.

Несколько проблем — доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле, строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта, а также топология алгебраических кривых и поверхностей — были признаны решенными частично. Кроме того, по двум проблемам — Континнум-гипотезе (проблема Кантора о мощности континнума) и непротиворечивости аксиом арифметики — до сих пор нет четкого мнения в плане того, насколько они решены.

Не так давно, в 2000 году, в бумагах Гильберта была обнаружена 24 насущная математическая проблема — проблема теории доказательств критерия простоты и общих методов, которую ученый вычеркнул из своего списка в последний момент.