Треугольник Паскаля

Каждый из нас с раннего детства прекрасно знаком с такой простой и, на первый взгляд, понятной фигурой, как треугольник. Однако не все знают, что существует еще и совершенно удивительный треугольник, не похожий на все, что нам доводилось видеть раньше, — треугольник Паскаля, названный так в честь великого французского математика и философа Блеза Паскаля, описавшего его в 1653 году в своем «Трактате об арифметическом треугольнике». Несмотря на то, что первые сведения о треугольнике Паскаля относятся к незапамятным временам (Омар Хайам, занимавшийся не только философией, но и математикой, описал его в начале XII века со ссылкой на заимствование из источников, датированных более ранним временем), именно Б. Паскаль был первым, кто смог научно описать его свойства.

Треугольник Паскаля — иными словами, бесконечная числовая таблица, выполненная в форме треугольника, — прост, изящен и велик, как все гениальное: каждое число его равно сумме двух чисел, которые расположены над ним. Нетрудно догадаться, что этот треугольник может быть каким угодно большим — его можно продолжать беспредельно.

Первый ряд чисел (если считать своеобразные «диагонали» от вершины) — это единицы, второй ряд содержит натуральные числа, соответствующие номеру строки расположения числа. Все числа третьего ряда — 1, 3, 6, 10, 15, 21,28, 36, 45 и т.д. представляют собой треугольные числа, которые показывают, какое именно количество предметов (подобно шарам в бильярде) могут в совокупности образовать треугольник. Этот ряд замечателен еще и тем, что каждое его число является суммой натурального ряда чисел, например: 45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 или 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 и т.д. Четвертый ряд чисел треугольника Паскаля (1, 4, 10, 20, 35, 56 и т.д.) содержит тетраэдрические (пирамидальные) числа, которые участвуют в воображаемом «строительстве» тетраэдра: на три уже имеющихся шара кладется еще один шар и получается — 4 и т.д. Пятый ряд треугольника, образованный гипертетраэдрическими числами 1, 5, 15, 35, 70 и т.д., поможет получить в воображении (поскольку возможен только в четырехмерном пространстве) гипертетраэдр: один шар объединяется с четырьмя, а те — с десятью и т.д. Еще более невообразимый пятимерный тетраэдр «выстраивается» с помощью чисел шестого ряда треугольника Паскаля: 1, 6, 21, 56, 126 и т.д.

Что касается горизонтальных линий, то все числа этих строк являются биномиальными коэффициентами, имеющими бесценное значение для комбинаторики, теории вероятностей, родоначальником которой в «соавторстве» с Ферма стал Б. Паскаль, и иных математических областей.

Одним из загадочных свойств треугольника Паскаля является быстрота нахождения суммы чисел ряда от начала до нужного нам числа. Для этого необходимо, найдя последнее слагаемое, обратить внимание на число, которое записано снизу и слева (если нумеровать ряды с правой стороны) или справа (если нумеровать ряды с левой стороны) от последнего слагаемого. Например, чтобы узнать, что в сумме дадут нам все числа четвертого ряда от 1 до 56, достаточно, найдя 56, взглянуть, что написано слева внизу: это число 126. Удивительно верно!

Кроме того, не догадываясь о собственном открытии (это было обнаружено только в XIX веке), Паскаль «зашифровал» в треугольнике известные числа последовательности Фибоначчи: 1, 6, 10, 4; 1, 5, 6, 1 и т.д.